Forma de Chern–Simons
En matemàtiques, les formes diferencials de Chern–Simons són un tipus de classes característiques secundàries. Tenen aplicacions importants en teories de gauge en física moderna (especialment la 3-forma sobre una 3-varietat, que està relacionada amb el funcional de Yang-Mills per a 4-varietats) i defineixen l'acció de la teoria de Chern–Simons. La forma rep el nom dels matemàtics Shiing-Shen Chern i James Harris Simons, coautors d'un article del 1974 intitulat "Formes Característiques i Invariants Geomètriques",[1] a partir del qual la teoria va sorgir.
Definició
Donada una varietat i una 1-forma de l'àlgebra de Lie, per sobre de la primera, podem definir una família de formes diferencials com segueix.[2]
En una dimensió, l'1-forma de Chern–Simons ve donada per
En tres dimensions, la 3-forma de Chern–Simons ve donada per
En cinc dimensions, la 5-forma de Chern–Simons és
on la curvatura F és definida com a
La forma de Chern–Simons general és definida de manera que
on el producte exterior és emprat per a definir Fk. La part dreta d'aquesta equació és proporcional al caràcter de Chern d'ordre k de la connexió .
En general, la p-forma de Chern–Simons és definida per a qualsevol valor de p senar. La seva integral sobre una varietat p-dimensional és una invariant geomètrica global, i és típicament un invariant de gauge modulo l'addició d'un enter.