Funció d'Euler

Plantilla:Vegeu lliure En matemàtiques, la funció d'Euler ve donada per

$\varphi (q)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k)$

Fou anomenada en honor de Leonhard Euler, i és un exemple prototípic de sèries q, una forma modular, i proveeix l'exemple prototípic d'una relació entre combinatòria i anàlisi complexa.

Propietats

El coeficient $p(k)$ en l'expansió de sèrie de potències formals per $1/\varphi (q)$ dona el nombre de totes les particions de k. Això és

$\frac{1}{\varphi (q)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^k$

on $p(k)$ és la funció de partició de k.

La identitat d'Euler és

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{(3n^2-n)/2}$

Cal notar que $(3n^2-n)/2$ és un nombre pentagonal.

La funció d'Euler està relacionada amb la funció Dedekind eta mitjançant una identitat de Ramanujan:

$\varphi (q)=q^{-\frac{1}{24}}\eta (\tau )$

on $q=e^{2\pi i\tau }$ és el quadrat del nome.

Referències

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. Plantilla:ISBN