Funció d'una variable complexa diferenciable en sentit real

Aquest article serveix d'introducció a l'article sobre les equacions de Cauchy-Riemann. S'hi defineix les derivades parcials (respecte a $x,y$ o $z,\overline{z}$) i la diferenciabilitat en sentit real de les funcions (de valor complex) d'una variable complexa.

Considerem aquí una funció $f:U\to ℂ$ d'una variable complexa, definida en un obert U de $ℂ$. Emprem les notacions següents :

• la variable complexa $z$ es nota per $x+iy$, on x, y són reals
• les parts real i imaginària de $f(z)=f(x+iy)$ es noten respectivament per $P(x,y)$ i $Q(x,y)$, és a dir : $f(z)=P(x,y)+iQ(x,y)$, on $P,Q$ són dues funcions reals de dues variables reals.

Derivades parcials d'una funció d'una variable complexa

Derivades parcials respecte a x i y

Definició : sigui $z_0=x_0+i{y}_0\in U$, on $x_0,y_0$ són reals.

• diem que f té derivada parcial (primera) al punt $z_0$ respecte a la variable x, notada per $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ si existeix el límit (finit) $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\underset{u\to 0,u\in {ℝ}^{*}}{\lim }\frac{f(z_0+u)-f(z_0)}{u}$
• diem que f té derivada parcial (primera) al punt $z_0$ respecte a la variable y, notada per $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)$ si existeix el límit (finit) $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=\underset{v\to 0,v\in {ℝ}^{*}}{\lim }\frac{f(z_0+iv)-f(z_0)}{v}$

Propietat :

• la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ existeix si i només si les derivades parcials $\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)$, $\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)$ existeixen, i aleshores $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)$
• la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)$ existeix si i només si les derivades parcials $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)$, $\frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0)$ existeixen, i aleshores $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)+i\frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0)$

Derivades parcials d'ordre superior :

• si, per exemple, $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ existeix en tot punt $z_0\in U$, es defineix la funció $\frac{\partial f}{\partial x}:U\to ℂ,z\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(z)$
• si, a més a més, la funció $\frac{\partial f}{\partial x}$ té derivada parcial primera al punt $z_0$ respecte a la variable x, la notem per $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(z_0)$ : $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(z_0)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)$. Semblantment, si existeix $\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)$, la notem per $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(z_0)$, etc.

Derivades parcials respecte a $z$ i $\overline{z}$

Definició : suposem que f tingui derivades parcials primeres respecte a x i y al punt $z_0$. Aleshores, definim :

• $\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)-i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0))$
• $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0)=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)+i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0))$

Propietat : en conservar les hipòtesis precedents

• $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0)$
• $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=i(\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)-\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0))$

Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexa

Es diu que una funció d'una variable complexa és diferenciable en sentit real, o $ℝ$-diferenciable en un punt si es pot aproximar localment (a l'entorn d'aquell punt) per la suma d'una constant i d'una funció $ℝ$-lineal, anomenada diferencial.

• Definició : diem que una aplicació $L:ℂ\to ℂ$ és $ℝ$-lineal si : $\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ,\mathrm{\forall }\beta \in ℝ,\mathrm{\forall }z\in ℂ,\mathrm{\forall }w\in ℂ,L(\alpha z+\beta w)=\alpha L(z)+\beta L(w)$.
  • (aleshores : $\mathrm{\forall }u\in ℝ,\mathrm{\forall }v\in ℝ,L(u+iv)=uL(1)+vL(i)$)

• Definició : diem que la funció $f:U\to ℂ$ és $ℝ$-diferenciable en un punt $z_0\in U$ si existeixen una aplicació $ℝ$-lineal $L:ℂ\to ℂ$ i una funció $ϵ$ d'una variable complexa tals que $ϵ(h)\to 0$ quan $h\to 0$ i $f(z_0+h)=f(z_0)+L(h)+hϵ(h)$ (suposant que $|h|<r$, on r és el radi d'una bola tal que $B(z_0,r)\subset U$).
  • Quan existeix, l'aplicació L és única (a conseqüència de la propietat següent); s'anomena $ℝ$-diferencial o diferencial de $f$ en $z_0$ i es nota habitualment per $df(z_0)$.
  • Diem que $f$ és $ℝ$-diferenciable en U si és $ℝ$-diferenciable en tot punt de U.

• Propietat : quan $f$ és $ℝ$-diferenciable en un punt $z_0\in U$, aleshores
  • és contínua en $z_0$
  • té derivades parcials primeres en $z_0$, i
    • $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=L(1)=df(z_0)(1)$
    • $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=L(i)=df(z_0)(i)$.

demostració :

• continuïtat : $f(z_0+h)=f(z_0)+L(h)+hϵ(h)\to f(z_0)$ quan $h\to 0$ perquè $L(h)\to 0$ (la $ℝ$-diferencial L és un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita, per tant és contínua) i $hϵ(h)\to 0$.
• existència i expressió de les derivades parcials primeres :
  • per a tot u real tal que $|u|<r$, $f(z_0+u)=f(z_0)+L(u)+uϵ(u)=f(z_0)+uL(1)+uϵ(u)$; per tant, si $u\ne 0$, $\frac{f(z_0+u)-f(z_0)}{u}=L(1)+ϵ(u)\to L(1)$ quan $u\to 0$ : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció $f$ en $z_0$ respecte a $x$, i la igualtat $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=L(1)$
  • per a tot v real tal que $|v|<r$, $f(z_0+iv)=f(z_0)+L(iv)+ivϵ(iv)=f(z_0)+vL(i)+ivϵ(iv)$; per tant, si $v\ne 0$, $\frac{f(z_0+iv)-f(z_0)}{v}=L(i)+iϵ(iv)\to L(i)$ quan $v\to 0$ : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció $f$ en $z_0$ respecte a $y$, i la igualtat $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=L(i)$.

• Teorema : una condició suficient (no necessària) de $ℝ$-diferenciabilitat en un punt, o en un obert.
  • si $f$ té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a $z$ i $\overline{z}$) en tot punt d'un entorn de $z_0\in U$, i si $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ (o $\frac{\partial f}{\partial z}$, $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}$) són contínues en $z_0$, aleshores $f$ és $ℝ$-diferenciable en $z_0$
  • en particular, si $f$ té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a $z$ i $\overline{z}$) definides i contínues en tot punt de U, la funció $f$ és $ℝ$-diferenciable en U. En aquest cas, es diu que $f$ és $ℝ$-contínuament diferenciable en U, o de classe $C^1$ en U.