Funció de Källén

La funció de Källén, també coneguda com a funció triangle, és una funció polinòmica de tres variables, que apareix en geometria i en física de partícules (on a voltes es denotada pel símbol $\lambda$). Rep el seu nom del físic teòric Gunnar Källén que la va introduir al seu llibre de text Elementary Particle Physics.

Definició i aplicacions

La funció ve donada per un polinomi quadràtic de tres variables

$\lambda (x,y,z)\equiv x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx.$

En geometria, la funció descriu l'àrea $A$ d'un triangle amb costats de longituds: $a,b,c$

$A=\frac{1}{4}\sqrt{-\lambda (a^2,b^2,c^2)}.$

Vegeu també la fórmula d'Heró.
La funció apareix naturalment en expressions de cinemàtica de partícules relativistes, p. ex. per a expressar, al sistema del centre de masses, l'energia i les components de la quantitat de moviment utilitzant les variables de Mandelstam. En aquests casos, el factor λ^1/2(s,m₁²,m₂²) apareix sovint en integracions de l'espai de fase d'un sistema de 2 partícules de masses m₁, m₂, i massa invariant total √s.

Propietats

La funció és (evidentment) simètrica en cas de permutacions dels seus arguments, i també és independent d'un canvi global del signe dels seus paràmetres:

$\lambda (-x,-y,-z)=\lambda (x,y,z).$

Si $y,z>0$, el polinomi factoritza en dos termes

$\lambda (x,y,z)=(x-(\sqrt{y}+\sqrt{z}{)}^2)(x-(\sqrt{y}-\sqrt{z}{)}^2).$

Si $x,y,z>0$, el polinomi factoritza en quatre termes

$\lambda (x,y,z)=-(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})(-\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})(\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z})(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}).$

La seva expressió més condensada és

$\lambda (x,y,z)=(x-y-z{)}^2-4yz.$