Funció gamma incompleta

La funció gamma incompleta superior per alguns valors del paràmetre $a$. En blau per $a=0$, en vermell per $a=1$, en verd per $a=2$, en taronja per $a=3$ i en lila per $a=4$.

En matemàtiques, es coneixen com a funcions gamma incompletes a dues generalitzacions de la funció gamma (també anomenada funció gamma completa) que prenen com a argument dues variables en comptes d'una. Aquestes generalitzacions es coneixen com a funció gamma incompleta superior (o, simplement, funció gamma incompleta) i funció gamma incompleta inferior.

Definició formal

La funció gamma incompleta superior ve donada per

$\mathrm{\Gamma }(a,x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt$

mentre que la funció gamma incompleta inferior ve donada per

$\gamma (a,x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt$.

D'aquesta manera es té una còmoda relació amb la funció gamma completa, doncs $\mathrm{\Gamma }(a)=\mathrm{\Gamma }(a,x)+\gamma (a,x)$ i, també, $\mathrm{\Gamma }(a)=\mathrm{\Gamma }(a,0)$.

Expressions equivalents

Per $a=n\in \mathbb{N}$ es té

$\mathrm{\Gamma }(n,x)=(n-1)!e^{-x}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}$

i, per $a=0$,

$\mathrm{\Gamma }(0,x)=\frac{e^{-x}}{x+1-\frac{1}{x+3-\frac{4}{x+5-\frac{9}{x+7-\cdots }}}}$.

Funcions de distribució

Diverses funcions de distribució són fàcilment expressables en termes de funcions gamma incompletes. Per exemple, la funció de distribució de la khi quadrat de Pearson pot expressar-se com

$F_k(x)=\frac{\gamma (k/2,x/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2,0)}$,

mentre que la funció de distribució de la distribució de Poisson es pot expressar com

$\frac{\mathrm{\Gamma }(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}\text{per }k\ge 0$.