Intersecció

Exemple gràfic, l'àrea lila representa la intersecció de A i B.

La intersecció és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat conjunt intersecció, format pels elements que pertanyen a la vegada a tots els conjunts que s'intersequen. S'expressa amb el símbol $\cap$.

Per exemple:

Donat $A=\{a,e,i,s\}$ i $B=\{a,e,f,h\}$, si definim $C=A\cap B$, llavors $C=\{a,e\}$. $C=A\cap B$ es llegeix: el conjunt C és igual a la intersecció dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt intersecció dels conjunts A i B.

Propietats de la intersecció

Propietat idempotent

Quan intersequem un conjunt amb si mateix, el conjunt intersecció és el mateix conjunt.

$A\cap A=A$

Propietat commutativa

El conjunt intersecció resultant és indiferent a l'ordre amb què s'intersequen els conjunts.

$A\cap B=B\cap A$

Propietat associativa

El conjunt intersecció resultant quan intersequem més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb què es facin les interseccions.

$A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

Intersecció de subconjunts

Si intersequem un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt intersecció és B.

Si tenim els conjunts A i B tal que $A\supset B$ (A inclou B), llavors $A\cap B=B$

Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

• La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

$A\cup (B\cap C\cap D...)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\cap (A\cup D)$ ...

• També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

$A\cap (B\cup C\cup D...)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D)$ ...

Vegeu també

• Teoria de conjunts