Notació de Landau

En matemàtica, la Notació de Landau , també anomenada "o minúscula" i "O majúscula", és una notació per a la comparació asimptòtica de funcions, la qual cosa permet establir la cota inferior asimptòtica, la cota superior asimptòtica i la cota ajustada asimptòtica. Anomenada així per Edmund Landau, qui va desenvolupar la teoria.

Definició

La notació de Landau es defineix de la següent manera:

Si f, g són funcions complexes definides en un entorn d'un punt $x_0$, aleshores

• $F=O(g)$ quan $x\to x_0$ si i només si hi ha un $ϵ>0$ tal que $|f(x)|\le ϵ|g(x)|$ per a tot $x$ en un entorn de $x_0$.
• $F=o(g)$ quan $x\to x_0$ si i només si per tot $ϵ>0$ hem de $|f(x)|<ϵ|g(x)|$ per a tot $x$ en un entorn de $x_0$.

Una versió una mica més restrictiva però més manejable que la definició anterior és la següent:

Siguin $f(x)$, $g(x)$ dues funcions definides per $x>x_0.$ i sigui $g(x)\ne 0\mathrm{\forall }x>x_0$. Els símbols

$f=O(g)$, $f=o(g)$

signifiquen respectivament que $f(x)/g(x)\to 0$ quan $x\to -\mathrm{\infty }$, i que $f(x)/g(x)$ està tancat per $x$ prou gran. La mateixa notació és usada quan $x$ tendeix a un límit finit o $-\mathrm{\infty }$, o també quan $x$ tendeix al seu límit a través d'una seqüència discreta de valors. En particular, una expressió és $o(1)$ o $O(1)$ si aquesta expressió tendeix a zero o aquesta fitada respectivament.

Dues funcions $f(x)$ i $g(x)$ definides en un veïnatge d'un punt $x_0$ (finit o infinit) són cridades asimptòticament iguals si $f(x)/g(x)\to 1$ quan $x\to x_0$

Si les fraccions $f(x)/g(x)$, $g(x)/f(x)$ estan acotades en un veïnatge de $x_0$ es diu que $f(x)$, $g(x)$ són del mateix ordre quan $x\to x_0$

Propietats

Context de les propietats

Siguin $a,b\in ℝ$ i suposem que $f$ és una funció definida sobre un interval finit o infinit $a\le x<b$ i és integrable en qualsevol interval $(a,b^{\prime })$ amb $b^{\prime }<b$ podem escriure

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}tx\in (a,b^{\prime })$

Sigui $o_0,o_1,o_2,\dots$ una successió de nombres i sigui

$O_{\nu }=o_0+o_1+\cdots +O_{\nu }(\nu =0,1,\dots )$

la mateixa notació serà utilitzada per altres lletres. Es tenen les següents propietats:

1. Suposeu que $f(x)$, $g(x)$ estan definides en $a\le x<b$ i integrables en qualsevol $(a,b^{\prime })$, que $g(x)\ge 0$ i que $G(x)\to +\mathrm{\infty }$ quan $x\to b$. Si $f(x)=o(g(x))$ quan $x\to b$, aleshores també s'haurà de $F(x)=o(G(x))$
2. Siguin $\{O_{\nu }\},\{v_{\nu }\},$ dues successions de nombres, aquesta última positiva. Si $\{O_{\nu }\}=o\{v_{\nu }\},$ i $V_{\nu }\to +\mathrm{\infty }$, llavors $O_{\nu }=o(V_{\nu })$
3. Suposeu que la sèrie $\sum v_{\nu }$ convergeix, que els $v$ 's són positius, i que $O_{\nu }=o(v_{\nu })$. llavors $O_{\nu }+U_{\nu +1}+\cdots =o(v_{\nu }+v_{\nu +1}+\cdots )$
4. Sigui $f(x)$ una funció positiva, monòtona i finita definida per $x\ge 0$ i sigui $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f\mathrm{d}t,F_n=f(0)+f(1)+\cdots +f(n).$ Llavors
   $(i)$ si $f(x)$ decrementa, $F(n)-f_n$ tendeix a un límit finit
   $(ii)$ si $f(x)$ s'incrementa, $F(n)\le F_n\le F(n)-f(n{)}_n\to +\mathrm{\infty }$
5. Sigui $f(x)$ positiva, finita i monòtona per $x\ge 0$. Si es compleix $(i)$ $f(x)$ s'incrementa i $F(x)\to \mathrm{\infty }$ o $(ii)$ $f(x)$ s'incrementa i $f(x)=o(F(x))$, llavors $F_n$ és asimptòticament igual a $F(n)$

$$

Vegeu també

• Cota superior asimptòtica
• Cota inferior asimptòtica
• Cota ajustada asimptòtica

Bibliografia

• Trigonometric Sèries vol 1 A. Zygmund