Programació geomètrica

Un programa geomètric és un problema d'optimització de la forma

Minimitzar $f_0(x)$ tal que

$F_i(x)\le 1,i=1,\dots ,m$

$H_i(x)=1,i=1,\dots ,p$

on $f_0,\dots ,F_m$ són posinomis i $h_1,\dots ,h_p$ són monomis. Cal subratllar que en parlar de programació geomètrica (al contrari que en altres disciplines), un monomi es defineix com una funció $f:{ℝ}^n\to ℝ$ amb $\mathrm{d}\mathrm{g}f={ℝ}_{++}^n$ definit com

$F(x)=c{x}_1^{a_1}{x}_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}$

on $c>0$ i $a_i\in ℝ$.

Té múltiples aplicacions, com el dimensionament de circuits i l'estimació paramètrica via regressió logística en estadística.

Forma convexa

Els programa geomètrics no són per regla general problemes d'optimització convexa, però poden transformar-se en ells mitjançant un canvi de variables i una transformació de les funcions objectiu i de restricció. Definint $y_i=\log x_i$, el monomi $f(x)=c{x}_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\mapsto i^{a^{T}i+b}$, on $b=logc$. De la mateixa manera, si $f$ és el posinomi

$f(x)=\sum _{k=1}^K{c}_k{x}_1^{a_{1k}}\cdots x_n^{a_{nk}}$

llavors $f(x)=\sum _{k=1}^K{i}^{a_k^{T}i+b_k}$, on $a_k=(a_{1k},\dots ,a_{nk})$ i $b_k=\log c_k$. Després del canvi de variables, el posinomi es converteix en una suma d'exponencials de funcions afins.

Enllaços externs

• S. Boyd, S. J. Kim, L. Vandenberghe, and A. Hassibi - Optimization and Engineering, 8(1):67-127, 2007., A Tutorial on Geometric Programming
• S. Boyd, S. J. Kim, D. Patil, and M. Horowitz Digital Circuit Optimization via Geometric Programming
• Stephen P. Boyd, Seung-Jean Kim, Dinesh D. Patil, Mark A. Horowitz, Optimització de circuits via programació geomètrica.