Robot esfèric

Representació d'un robot esfèric, de tipus polar, basat en l'Unimate, el primer robot industrial de la història.Plantilla:Sfn

Un robot esfèric, és un robot industrial format per dues articulacions de revolució i una articulació prismàtica, disposades segons un sistema de coordenades esfèric.Plantilla:SfnPlantilla:Sfn

N'hi ha diferents variants segons l'orientació dels eixos de revolució. Si el primer eix de rotació és vertical i el segon horitzontal, aleshores s'anomena robot polar. També hi ha una disposició en la que els eixos de rotació es col·loquen horitzontalment, com en una suspensió de Cardan, i aleshores s'anomena robot pendular.Plantilla:Sfn Aquest tipus de configuració es va fer servir en el primer robot industrial, l'Unimate. Aquest robot tenia cinc graus de llibertat, gràcies a un terminal amb dos eixos de rotació, i disposava d'actuadors hidràulics.Plantilla:Sfn Es va fer servir per primer cop l'any 1961 a una fàbrica de General Motors, traient parts d'un motlle de fosa.Plantilla:Sfn

Aquest disseny s'empra majoritàriament moure peces o servir altres màquines, ja que té un abast llarg i recte que s'adapta bé a premses o motlles. Actualment és un tipus de robot poc usat, ja que es prefereixen configuracions més flexibles com la del robot articulat.Plantilla:Sfn

Cinemàtica

En un robot esfèric es pot resoldre la cinemàtica directa mitjançant el conveni de Denavit-Hartenberg. A continuació s'adjunta una imatge amb l'abstracció d'un manipulador esfèric de tipus polar, amb tres graus de llibertat, RRP. El primer origen de coordenades s'ha ubicat a la intersecció entre z₀ i z₁ per anul·lar el paràmetre del desplaçament de l'element (d₁ = 0). Anàlogament, l'origen del segon sistema de coordenades s'ha posicionat a la intersecció entre z₁ i z₂.Plantilla:Sfn

Sistema de coordenades per cada articulació d'un robot polar RRP seguint el conveni de conveni de Denavit-Hartenberg.Plantilla:Sfn

Amb els sistemes de coordenades que s'han presentat a la imatge, els paràmetres de Denavit-Hartenberg s'inclouen a la taula següent:Plantilla:Sfn

Element	ai	αi	di	θi
1	0	-π/2	0	θ1*
2	0	π/2	d₂	θ₂*
3	0	0	d₃*	0

Fent servir els paràmetres, les matrius de transformació homogènies que s'obtenen per cada articulació són:Plantilla:Sfn

$A_1^0({\theta }_1)=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& 0& -s_1& 0\\ s_1& 0& c_1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$A_2^1({\theta }_2)=\left[\begin{array}{cccc}{c}_2& 0& s_2& 0\\ s_2& 0& -c_2& 0\\ 0& 1& 0& d_2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$A_3^2(d_3)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& d_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Així, si es computa la funció de la cinemàtica directa, s'obté que:Plantilla:Sfn

$T_3^0(q)=A_1^0\cdot A_2^1\cdot A_3^2=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1{c}_2& -s_1& c_1{s}_2& c_1{s}_2{d}_3-s_1{d}_2\\ s_1{c}_2& c_1& s_1{s}_2& s_1{s}_2{d}_3+c_1{d}_2)\\ -s_2& 0& c_2& c_2{d}_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

On $q=[{\theta }_1,{\theta }_2,d_3{]}^T$. S'ha de notar que la tercera articulació, la prismàtica, òbviament no afecta a la matriu de rotació. A més a més, l'orientació del vector unitari $y_3^0$ està determinat únicament per la primera articulació, ja que l'eix de revolució de la segona articulació és paral·lela a l'eix $y_3$. En aquest cas, el sistema de coordenades 3 pot representar un sistema de coordenades de vectors unitaris $(n_e,s_e,a_e),T_e^3=I_4.$Plantilla:Sfn

Per altra banda, la cinemàtica inversa permet trobar els valors de les variables de les articulacions corresponents a una posició del terminal determinada. En aquest cas, la posició que es vol obtenir al terminal és $O_3=[x_3,y_3,z_3]$ i s'han de trobar els valors de les variables ${\theta }_1,{\theta }_2$ i $d_3$ que permeten assolir-la.

Per aïllar les variables de les que depèn $O_3$ és convenient expressar la posició del terminal respecte l'origen de coordenades 1. L'equació de matrius s'obté és:Plantilla:Sfn

$(A_1^0{)}^{-1}{T}_3^0=A_2^1{A}_3^2$

Igualant els primers tres elements de les quartes columnes de les matrius a cada banda s'obté:

$O_3^1=\left[\begin{array}{c}{x}_3{c}_1+y_3{s}_1\\ -z_3\\ -x_3{s}_1+y_3{c}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{d}_3{s}_2\\ -d_3{c}_2\\ d_2\end{array}\right]$

I aquestes equacions només depenen de les variables ${\theta }_1$ i $d_3$. Per resoldre aquestes tres equacions amb dues incògnites, s'aplica la següent substitució:

$t=tan\frac{{\theta }_1}{2}$

Aleshores s'obté que:

$c_1=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$s_1=\frac{2t}{1+t^2}$

Substituint aquestes equacions al tercer component a la banda esquerra de l'equació s'obté:

$(d_2+y_3)t^2+2x_{3}t+d_2-y_3=0$

I aquesta equació de segon grau de la variable $t$es pot resoldre aplicant la fórmula convencional, amb el resultat següent:

$t=\frac{-x_3\pm \sqrt{x_3^2+y_3^2-d_2^2}}{d_2+y_3}$

Les dues solucions resultants es corresponen a les dues diferents postures del manipulador. Així doncs:

${\theta }_1=2atan2(-x_3\pm \sqrt{x_3^2+y_3^2-d_2^2},d_2+y_3)$

Una vegada es coneix ${\theta }_1$, elevant al quadrat i sumant els primers dos components de l'equació de matrius s'obté:

$d_3=\sqrt{(x_3{c}_1+y_3{s}_1{)}^2+z_3^2}$

On només la solució amb $d_3\ge 0$ s'ha considerat. S'ha de notar que el mateix valor de $d_3$ es correspon a les dues solucions per ${\theta }_1$. Finalment, si $d_3\ne 0$, dels primers dos components de l'equació de matrius en resulta:

$\frac{x_3{c}_1+y_3{s}_1}{-z_3}=\frac{d_3{s}_2}{-d_3{c}_2}$

I a partir d'aquesta equació es pot extreure ${\theta }_2$

${\theta }_2=atan2(x_3{c}_1+y_3{s}_1,z_3)$

A destacar que, si $d_3=0$, aleshores ${\theta }_2$ no té una única solució.

Bibliografia

• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref

Enllaços externs

• Vídeo a Youtube d'Angela Sodemann: Robotic 09_ inverse kinematics Example 03 (three link spherical Robot RRP) Plantilla:En