Símbol de Levi-Civita

El símbol de Levi-Civita, també anomenat símbol de permutació és un símbol matemàtic, especialment utilitzat en càlcul tensorial. Rep el seu nom en honor de matemàtic i físic italià Tullio Levi-Civita.

Definició

Visualització del símbol de Levi-Civita.

En tres dimensions el símbol de Levi-Civita es defineix de la forma següent:

${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{si}(i,j,k)\text{ és }(1,2,3),(2,3,1)\text{ o }(3,1,2),\\ -1& \text{si}(i,j,k)\text{ és }(3,2,1),(1,3,2)\text{ o }(2,1,3),\\ 0& \text{si: }i=j\text{ o }j=k\text{ o }k=i,\end{array}$

Per exemple, és 1 si (i, j, k) és la permutació parell de (1,2,3), −1 si és una permutació imparell, i 0 si es repeteix algún índex. Per exemple, en àlgebra lineal, el determinant d'una matriu A de 3x3 es pot escriure

$\det A=\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}$ (i de manera general per a qualsevol matriu quadrada, vegeu més endavant)

i el producte vectorial de dos vectors es pot escriure com un determinant:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟑}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{𝐞}_{𝐢}{a}_j{b}_k$

o de manera més simple:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=𝐜,c_i=\sum _{j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k$

D'acord amb la notació d'Einstein, el símbol del sumatori pot ser omès. El tensor els components del qual venen donats pel símbol de Levi-Civita (un tensor covariant de rang 3) de vegades rep el nom de tensor de permutació. Actualment se'l considera un pseudovector perquè sota una transformació ortogonal del determinant jacobià -1 (per exemple, una rotació composta amb una reflexió), dona -1. Com que el símbol de Levi-Civita és un pseudotensor, el resultat de fer el producte vectorial és un pseudovector, no un vector.

Relació amb la delta de Kronecker

El símbol de Levi-Civita és relacionat amb la delta de Kronecker. En tres dimensions la relació ve donada per les següents equacions:

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}=\det \left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{il}& {\delta }_{im}& {\delta }_{in}\\ {\delta }_{jl}& {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{kl}& {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right|$

$={\delta }_{il}({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km})-{\delta }_{im}({\delta }_{jl}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{kl})+{\delta }_{in}({\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{kl})$

$\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$ ("contracció de la identitat epsilon")

$\sum _{i,j=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ijn}=2{\delta }_{kn}$

Generalització per n dimensions

El símbol de Levi-Civita es pot generalitzar per a matrius de dimensions més grans:

${\epsilon }_{ijk\ell \dots }=\{\begin{array}{cc}+1& \text{si }(i,j,k,\ell ,\dots )\text{ és una permutació parell de }(1,2,3,4,\dots )\\ -1& \text{si }(i,j,k,\ell ,\dots )\text{ és una permutació senar de }(1,2,3,4,\dots )\\ 0& \text{si alguns dels índexs són iguals}\end{array}$

Així, tindrem la signatura de permutació en el cas d'una permutació, i zero si no hi és.

A més es pot representar com

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^n{\epsilon }_{ijk\dots }{\epsilon }_{ijk\dots }=n!$

que sempre es verificarà en n dimensions. En una notació tensorial d'índex lliure, el śimbol de Levi-Civita es reemplaça pel concepte de dualitat de Hodge. En general per a $n$ dimensions el producte de dos símbols de Levi-Civita el podem escriure com:

${\epsilon }_{ijk\dots }{\epsilon }_{mnl\dots }=\det \left|\begin{array}{cccc}{\delta }_{im}& {\delta }_{in}& {\delta }_{il}& \dots \\ {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}& {\delta }_{jl}& \dots \\ {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}& {\delta }_{kl}& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right|$.

Ara podem contraure els índexs $m$, això afegirà un factor $m!$ al determinant i haurem d'ometre el delta de Kronecker.