Transformació ortogonal

En matemàtiques, una transformació ortogonal és una transformació lineal $T:V\to V$ (on $V$ és un espai prehilbertià) tal que conserva el producte escalar d'aquest espai. És a dir, que per tot parell d'elements $u,v\in V$ es compleix $⟨u,v⟩=⟨Tu,Tv⟩$. En particular, com que els mòduls dels vectors i l'angle entre aquests en un espai prehilbertià es defineixen a partir del producte escalar, les transformacions ortogonals preserven els mòduls i els angles i, per tant, envien les bases ortonormals a bases ortonormals.

Exemples

Si prenem com a $V$ l'espai real euclidià de dimensió 2 amb el producte escalar estàndard i la seva base canònica, $({ℝ}^2,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$, aleshores la transformació $T$ donada per la matriu de transformació

$T=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$

és ortogonal. Per demostrar-ho, n'hi ha prou amb aplicar-la sobre els vectors de la base canònica:

$\begin{array}{ccc}T{e}_1=\left[\begin{array}{c}\cos (\theta )\\ \sin (\theta )\end{array}\right]& & T{e}_2=\left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]\end{array}$

I veure que

$\begin{array}{cc}& ⟨T{e}_1,T{e}_1⟩=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\cos (\theta )\\ \sin (\theta )\end{array}\right]={\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1\\ & ⟨T{e}_1,T{e}_2⟩=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]=\sin (\theta )\cos (\theta )-\sin (\theta )\cos (\theta )=0\\ & ⟨T{e}_2,T{e}_2⟩=\left[\begin{array}{cc}-\sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]={\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1\\ \end{array}$

En l'espai real euclidià de dimensió 3 amb el producte escalar estàndard i la seva base canònica, $({ℝ}^3,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$, alguns exemples de matrius de transformacions ortogonals són $\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& 0& -\sin (\theta )\\ 0& 1& 0\\ \sin (\theta )& 0& \cos (\theta )\end{array}\right]$ i $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ 0& \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$.