Unitat imaginària

Plantilla:Mvar en el pla complex o pla cartesià. Els nombres reals estan representats per l'eix horitzontal, i els nombres imaginaris purs estan representats per l'eix vertical.

La unitat imaginària o nombre imaginari unitari, denotat per Plantilla:Mvar, és una solució de l'equació quadràtica x² + 1 = 0. Tot i que no hi ha cap nombre real amb aquesta propietat, i és un concepte matemàtic que estén el sistema dels nombres reals Plantilla:Math al sistema dels nombres complexos Plantilla:Math. Al seu torn, això fa que qualsevol polinomi Plantilla:Math tingui, almenys, una arrel (vegeu Clausura algebraica i Teorema fonamental de l'àlgebra). La propietat característica de la unitat imaginària és que Plantilla:Math. Hom empra el terme imaginari perquè no hi ha cap nombre real que, elevant-lo al quadrat, se n'obtingui un nombre negatiu.

De fet, hi ha dues arrels quadrades complexes de −1 (una és Plantilla:Mvar; l'altra és Plantilla:Math), de la mateixa manera que qualsevol nombre real té dues arrels quadrades complexes, llevat del zero, que té una arrel quadrada doble.

En alguns contextos on l'ús del símbol Plantilla:Mvar pot ser ambigu o problemàtic, de vegades es fan servir les notacions alternatives Plantilla:Mvar o la lletra grega [[iota|Plantilla:Math]]. En els àmbits de l'enginyeria elèctrica o l'enginyeria de sistemes de control, s'acostuma a denotar la unitat imaginària per Plantilla:Mvar en comptes de Plantilla:Mvar, ja que Plantilla:Mvar acostuma a representar el corrent elèctric.

Per saber més sobre la història de la unitat imaginària, visiteu Nombre complex#Història.

Definició

Les successives potències enteres de Plantilla:Mvar formen una seqüència cíclica:
Plantilla:Math (es repeteix el patró destacat en blau)
Plantilla:Math
Plantilla:Math
Plantilla:Math
Plantilla:Math
Plantilla:Math
Plantilla:Math
Plantilla:Math
Plantilla:Math
Plantilla:Math
Plantilla:Math
Plantilla:Math (es repeteix el patró destacat en blau)

El nombre imaginari Plantilla:Mvar es defineix pel fet que el seu quadrat és igual a −1:

$i^2=-1.$

Amb aquesta definició de Plantilla:Mvar, se segueix immediatament que tant Plantilla:Mvar com Plantilla:Math són arrels quadrades de −1.

Encara que la construcció del nombre s'anomeni "imaginària", i encara que el concepte de nombre imaginari pugui ser més difícil de copsar intuïtivament (en comparació al concepte de nombre real), la construcció és perfectament vàlida des del punt de vista matemàtic. Es poden estendre les operacions amb nombres reals als nombres imaginaris i als complexos, només tractant Plantilla:Mvar com una quantitat desconeguda quan es manipula una expressió, i emprant la definició per substituir Plantilla:Math per −1. Les potències enteres de Plantilla:Mvar es poden substituir per Plantilla:Math, 1, Plantilla:Mvar, o −1:

$i^3=i^{2}i=(-1)i=-i$

$i^4=i^{3}i=(-i)i=-(i^2)=-(-1)=1$

$i^5=i^{4}i=(1)i=i$

De la mateixa manera tenim, com amb qualsevol nombre real diferent de zero:

$i^0=i^{1-1}=i^1{i}^{-1}=i^1\frac{1}{i}=i\frac{1}{i}=\frac{i}{i}=1$

Vist com un nombre complex, Plantilla:Mvar és igual a Plantilla:Math, és a dir, té component real igual a 0 i component imaginària igual a 1. En coordenades polars, Plantilla:Mvar és Plantilla:Math, on el valor absolut (o magnitud) és 1 i l'argument (o angle) és ^π/₂. En el pla complex (també conegut com a pla cartesià), Plantilla:Mvar és el punt situat sobre l'eix imaginari a una distància d'una unitat de l'origen.

Plantilla:Àncora Elecció de Plantilla:Math i de Plantilla:Math

Com que Plantilla:Math és un polinomi quadràtic sense arrels múltiples, l'equació de la definició Plantilla:Math té dues solucions diferents, ambdues vàlides, amb la particularitat que una és la inversa additiva i multiplicativa de l'altra. Més precisament, una vegada hem fixat una solució Plantilla:Mvar de l'equació, el valor Plantilla:Math, que és diferent de Plantilla:Mvar, també n'és una solució. Com que l'equació és l'única definició de Plantilla:Mvar, sembla que la definició sigui ambigua (més precisament, que no estigui ben definida). Tot i això, no hi ha cap ambigüitat si etiquetem una solució qualsevol com "Plantilla:Mvar", i l'altra com Plantilla:Math. Això és així perquè, encara que Plantilla:Math i Plantilla:Mvar no són quantitativament equivalents (una és l'oposada de l'altra), no hi ha cap diferència algebraica entre Plantilla:Mvar i Plantilla:Math: tots dos nombres imaginaris compleixen que tenen quadrat igual a −1. Si es reescrivissin totes les publicacions matemàtiques sobre nombres imaginaris o complexos substituint Plantilla:Math per Plantilla:Math (i, per tant, Plantilla:Math per Plantilla:Math), aleshores tots els teoremes i fórmules continuarien essent vàlids. La distinció entre les dues arrels Plantilla:Mvar de Plantilla:Math on una d'elles té signe negatiu és merament una herència notacional; no es pot dir que cap de les solucions sigui més primària o fonamental que l'altra, i cap és "positiva" o "negativa".

La qüestió és força subtil. L'explicació més precisa és que, encara que els cos dels complexos, definit com Plantilla:Math, (vegeu nombre complex) és únic llevat d'isomorfisme, no és únic llevat d'un únic isomorfisme; hi ha exactament 2 automorfismes de cossos a Plantilla:Math que mantenen invariant el conjunt dels nombres reals: la identitat, i l'automorfisme que envia Plantilla:Mvar a Plantilla:Math. Vegeu també Conjugat i Grup de Galois.

Existeix un problema similar si interpretem els nombres complexos com a matrius reals 2 × 2 (vegeu representació matricial dels nombres complexos), perquè llavors tant

$X=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$    com    $X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

són solucions de l'equació matricial

$X^2=-I=-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

En aquest cas, l'ambigüitat sorgeix de l'elecció de quin "sentit" al voltant de la circumferència unitat es considera com a rotació "positiva". Una explicació més precisa és que el grup d'automorfismes del grup ortogonal especial SO(2, Plantilla:Math) té exactament 2 elements: la identitat, i l'automorfisme que intercanvia les rotacions horària i antihorària.

Totes aquestes ambigüitats es poden evitar si s'adopta una definició de nombre complex més rigorosa, tot escollint una de les solucions a l'equació com a unitat imaginària. Per exemple, el parell ordenat (0, 1), en la construcció usual dels nombres complexos com a vectors bidimensionals.

Ús correcte

De vegades s'escriu la unitat imaginària com Plantilla:Math. Però cal tenir cura quan es manipulen expressions que contenen radicals. Aquesta notació està reservada o bé per la funció arrel quadrada principal, que només està definida per Plantilla:Math real, o bé per la branca principal de la funció arrel quadrada complexa. Si intentem aplicar les propietats de la funció arrel quadrada principal (real) per tal de manipular la branca principal de la funció arrel quadrada complexa, podem obtenir resultats falsos:

$-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$    (incorrecte).

Si intentem corregir el càlcul tot fent explícites les parts positiva i negativa, llavors tenim resultats ambigus:

$-1=i\cdot i=\pm \sqrt{-1}\cdot \pm \sqrt{-1}=\pm \sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\pm \sqrt{1}=\pm 1$   (ambigu).

De la mateixa manera:

$\frac{1}{i}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{-1}=i$    (incorrecte).

Les propietats

$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$

i

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

només són vàlides per valors reals i no negatius de Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar.

Podem evitar aquests problemes si escrivim i manipulem Plantilla:Math, en comptes d'expressions com Plantilla:Math.

Propietats

Arrels quadrades

Les dues arrels quadrades de Plantilla:Mvar al pla complex

L'arrel quadrada de Plantilla:Mvar es pot expressar com algun d'aquests dos nombres complexos

$\sqrt{i}=\pm (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$

En efecte, si elevem al quadrat el segon terme, obtenim

$\begin{array}{cc}{(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i))}^2& ={(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})}^2(1+i{)}^2\\ & =\frac{1}{2}(1+2i+i^2)\\ & =\frac{1}{2}(1+2i-1)\\ & =i.\\ \end{array}$

Aquest resultat també es pot obtenir mitjançant la fórmula d'Euler

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

substituint Plantilla:Math, i obtenim

$e^{i(\pi /2)}=\cos (\pi /2)+i\sin (\pi /2)=0+i1=i.$

Prenent l'arrel quadrada a ambdós costats de la igualtat tenim

$\sqrt{i}=\pm e^{i(\pi /4)},$

i, si ara apliquem la fórmula d'Euler a Plantilla:Math, tenim

$\begin{array}{cc}\sqrt{i}& =\pm (\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4))\\ & =\frac{1}{\pm \sqrt{2}}+\frac{i}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\frac{1+i}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).\\ \end{array}$

De la mateixa manera, l'arrel quadrada de Plantilla:Math es pot expressar com un d'aquests dos nombres complexos, usant la fórmula d'Euler

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

substituint Plantilla:Math, obtenint

$e^{i(3\pi /2)}=\cos (3\pi /2)+i\sin (3\pi /2)=0-i1=-i.$

Prenent l'arrel quadrada a ambdós costats de la igualtat, tenim:

$\sqrt{-i}=\pm e^{i(3\pi /4)},$

que, després d'aplicar la fórmula d'Euler a Plantilla:Math, esdevé

$\begin{array}{cc}\sqrt{-i}& =\pm (\cos (3\pi /4)+i\sin (3\pi /4))\\ & =-\frac{1}{\pm \sqrt{2}}+i\frac{1}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\frac{-1+i}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(i-1).\\ \end{array}$

Multiplicant l'arrel quadrada de Plantilla:Mvar per Plantilla:Mvar també resulta en:

$\begin{array}{cc}\sqrt{-i}& =(i)\cdot (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i))\\ & =\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1i+i^2)\\ & =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(i-1)\\ \end{array}$

Multiplicació i divisió

La multiplicació d'un nombre complex per Plantilla:Mvar dona:

$i(a+bi)=ai+b{i}^2=-b+ai.$

(això és equivalent a una rotació de 90° en sentit antihorari d'un vector al voltant de l'origen al pla complex.)

La divisió per Plantilla:Mvar és equivalent a multiplicar pel recíproc de Plantilla:Mvar:

$\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot \frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i.$

Emprant aquesta identitat, podem generalitzar la divisió per Plantilla:Mvar a tots els nombres complexos:

$\frac{a+bi}{i}=-i(a+bi)=-ai-b{i}^2=b-ai.$

(això és equivalent a una rotació de 90° en sentit horari d'un vector al voltant de l'origen al pla complex.)

Exponenciació

Les potències de Plantilla:Mvar es repeteixen en un cicle que segueix aquest patró, on Plantilla:Math és un enter qualsevol:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i.$

Això implica que

$i^n=i^{nmod4}$

on mod representa l'operació mòdul. Equivalentment:

$i^n=\cos (n\pi /2)+i\sin (n\pi /2)$

Plantilla:Math elevada a la Plantilla:Math-sima potència

Emprant la fórmula d'Euler, Plantilla:Math és

$i^i={\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)}^i=e^{i^2(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}$

on $k\in \mathbb{Z}$, el conjunt dels enters.

El valor principal (per Plantilla:Math) és Plantilla:Math o aproximadament 0,207879576...

Factorial

El factorial de la unitat imaginària Plantilla:Mvar s'acostuma a expressar en terrmes de la funció gamma avaluada a Plantilla:Math:

$i!=\mathrm{\Gamma }(1+i)\approx 0,4980-0,1549i.$

També es compleix que

$|i!|=\sqrt{\frac{\pi }{\sinh \pi }}$.

Altres operacions

Moltes operacions matemàtiques que es poden realitzar amb nombres reals també es poden aplicar a Plantilla:Mvar, com ara l'exponenciació, radicació, logaritmes i funcions trigonomètriques. Tot i això, cal tenir present que totes les funcions següents són funcions multivaluades complexes i, per tant, cal especificar clarament sobre quina branca de la superfície de Riemann està definida la funció a la pràctica. A continuació presentem alguns resultats per a la branca més comuna.

Un nombre elevat a la Plantilla:Math-sima potència és:

$x^{ni}=\cos (\ln x^n)+i\sin (\ln x^n).$

L'arrel Plantilla:Math-sima d'un nombre és:

$\sqrt[ni]{x}=\cos (\ln \sqrt[n]{x})-i\sin (\ln \sqrt[n]{x}).$

El logaritme imaginari d'un nombre és:

${\log }_i(x)=\frac{2\ln x}{i\pi }.$

Com en altres logaritmes complexos, la base del logaritme Plantilla:Mvar no està definida de forma única.

El cosinus de Plantilla:Mvar és un nombre real:

$\cos (i)=\cosh (1)=\frac{e+1/e}{2}=\frac{e^2+1}{2e}\approx 1,54308064...$

I el sinus de Plantilla:Mvar és un nombre imaginari pur:

$\sin (i)=i\sinh (1)=\frac{e-1/e}{2}i=\frac{e^2-1}{2e}i\approx 1,17520119i...$

Notacions alternatives

• En enginyeria elèctrica i altres especialitats associades, la unitat imaginària es denota habitualment per Plantilla:Mvar, per tal de distingir-la del corrent elèctric com a funció del temps, que se sol denotar Plantilla:Math o simplement Plantilla:Mvar. El llenguatge de programació Python també empra Plantilla:Mvar per designar la part imaginària d'un nombre complex. MATLAB interpreta tant Plantilla:Mvar com Plantilla:Mvar com la unitat imaginària, tot i que hom prefereix Plantilla:Math o Plantilla:Math per optimitzar el rendiment.
• Alguns textos usen la lletra grega iota (Plantilla:Mvar) per tal d'evitar confusions, sobretot en subíndexs.
• Tant Plantilla:Mvar com Plantilla:Mvar com Plantilla:Mvar són unitats imaginàries en els quaternions. En l'àmbit dels bivectors i els biquaternions s'empra una unitat imaginària addicional Plantilla:Mvar.

Matrius

En l'àmbit de les matrius reals 2 × 2, diguem-ne m, si identifiquem el nombre (1) amb la matriu identitat, i (−1) amb l'oposada de la matriu identitat, llavors en general hi ha diverses solucions per a l'equació matricial m² = −1. De fet, també existeixen diverses solucions per a les equacions matricials m² = +1 i m² = 0. Hom pot prendre una tal solució m de forma que sigui un vector base, juntament amb el vector 1, per formar una àlgebra planar.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Pla complex
• Nombre imaginari
• Multiplicitat
• Arrel de la unitat

Enllaços externs

• Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials Plantilla:Webarchive a la pàgina web de la Mathematical Association of America