Mostra la font per a Criteri de la mitjana geomètrica

En [[matemàtiques]], el '''criteri de la mitjana geomètrica''' és un criteri per provar la convergència de successions que permet la resolució de límits del tipus <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n }</math>.

Sigui <math>\{ a_n \} </math> una [[successió matemàtica|successió]] de reals '''positius''' tal que <math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math>, sent <math>A > 0</math>. Llavors, <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n } = A</math>.

El criteri també és vàlid sent <math> A = +\infty</math>.<ref>{{ref-publicació |cognom=Pérez |nom=Javier |article=Cálculo diferencial e integral |publicació=Universidad de Granada |url=http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/calc1inf1011/apjperez/calculo_cap07.pdf |consulta=30 de juliol de 2018 |llengua=castellà}}</ref>

== Exemple ==
Com que la successió <math> a_n = \frac{n^2+2}{2n^2} </math> convergeix a 1/2, aleshores:<ref>{{ref-publicació |cognom=Llopis |nom=José L. |article=Criterio de la media geométrica y de la raíz |publicació=Matesfacil |issn=2659-8442 |url=https://www.matesfacil.com/UNI/progresiones/criterios/criterio-media-geometrica-raiz-sucesiones-ejemplos-demostracion-problemas-sucesiones-convergencia.html |consulta=30 de juliol de 2018|llengua=castellà}}</ref>
{{equació|
<math> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{3}{2} \cdot \frac{6}{8} \cdot ... \frac{n^2+2}{2n^2} } = \frac{1}{2}</math>
||left}}

== Corol·lari ==
Un corol·lari del criteri de la mitjana geomètrica és el '''criteri de l'arrel''', el qual estableix que si una successió <math>\{ a_n \} </math> de reals '''positius''' tal que <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = A > 0</math>, llavors <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = A</math>.

== Altres criteris de convergència ==
* [[Teorema de Stolz-Cesàro|Criteri de Stolz]]
* [[Criteri de la mitjana aritmètica]]

== Referències ==
{{Referències}}

== Enllaços externs ==
* [https://www.matesfacil.com/UNI/progresiones/criterios/criterio-media-geometrica-raiz-sucesiones-ejemplos-demostracion-problemas-sucesiones-convergencia.html Media geométrica y de la raíz (con demostración y ejemplos)] (en castellà)
* [http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/ana1_8.pdf Convergencia de sucesiones] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180712182639/http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/ana1_8.pdf |date=2018-07-12}} (en castellà)

[[Categoria:Teoremes d'anàlisi matemàtica|Criteri de la mitjana geomètrica]]