Criteri de la mitjana geomètrica

En matemàtiques, el criteri de la mitjana geomètrica és un criteri per provar la convergència de successions que permet la resolució de límits del tipus $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n}$.

Sigui $\{a_n\}$ una successió de reals positius tal que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A$, sent $A>0$. Llavors, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n}=A$.

El criteri també és vàlid sent $A=+\mathrm{\infty }$.

Exemple

Com que la successió $a_n=\frac{n^2+2}{2n^2}$ convergeix a 1/2, aleshores: Plantilla:Equació

Corol·lari

Un corol·lari del criteri de la mitjana geomètrica és el criteri de l'arrel, el qual estableix que si una successió $\{a_n\}$ de reals positius tal que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{a_{n-1}}=A>0$, llavors $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=A$.

Altres criteris de convergència

• Criteri de Stolz
• Criteri de la mitjana aritmètica

Enllaços externs

• Media geométrica y de la raíz (con demostración y ejemplos) (en castellà)
• Convergencia de sucesiones Plantilla:Webarchive (en castellà)