Teorema de Stolz-Cesàro

En matemàtiques, el teorema de Stolz-Cesàro és un criteri per demostrar la convergència d'una successió. El teorema porta el nom dels matemàtics Otto Stolz i Ernesto Cesàro, que ho van afirmar i demostrar per primera vegada.

El teorema de Stolz–Cesàro es pot veure com una generalització de la sumació de Cesàro, però també com una regla de L'Hôpital per a successions.

Enunciat del teorema per al cas Plantilla:Math

Siguin $(a_{n})_{n \geq 1}$ i $(b_{n})_{n \geq 1}$ dues successions de nombre reals. Suposem que $(b_{n})_{n \geq 1}$ és una successió estrictament monòtona i divergent (és a dir, estrictament creixent i s'aproxima a $+ \infty$ , o estrictament decreixent i s'aproxima a $- \infty$ ) i existeix el següent límit:

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = l .

Aleshores, el límit

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = l .

Aquest resultat s'empra per evitar indeterminacions del tipus $\infty / \infty$ .

Enunciat del teorema per al cas Plantilla:Math

Siguin $(a_{n})_{n \geq 1}$ i $(b_{n})_{n \geq 1}$ dues successions de nombre reals. Suposem ara que $(a_{n}) \to 0$ i $(b_{n}) \to 0$ mentre que $(b_{n})_{n \geq 1}$ és estrictament decreixent. Si

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = l,

aleshores

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = l .

Plantilla:Sfn

Criteri de Stolz de l'arrel

Siguin ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ dues successions tals que,

$a_{n} > 0, \forall n \in ℕ$
$b_{n}$ és monótona creixent i divergent $(b_{n} > 0, \forall n)$
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[b_{n + 1} - b_{n}]{\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}} = λ, λ \in ℝ$

Aleshores,

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[b_{n}]{a_{n}} = λ$

Demostracions

Demostració del teorema per al cas Plantilla:Math

Cas 1: suposem que $(b_{n})$ estrictament creixent i divergent a $+ \infty$ i $- \infty < l < \infty$ . Per hipòtesi, tenim que per a tot $ϵ / 2 > 0$ existeix $ν > 0$ tal que $\forall n > ν$

| \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} - l | < \frac{ϵ}{2},

és a dir

l - ϵ / 2 < \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} < l + ϵ / 2, \forall n > ν .

Com que $(b_{n})$ augmenta estrictament, $b_{n + 1} - b_{n} > 0$ , i es compleix el següent

(l - ϵ / 2) (b_{n + 1} - b_{n}) < a_{n + 1} - a_{n} < (l + ϵ / 2) (b_{n + 1} - b_{n}), \forall n > ν

.

A continuació ens adonem que

a_{n} = [(a_{n} - a_{n - 1}) + \dots + (a_{ν + 2} - a_{ν + 1})] + a_{ν + 1}

així, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes entre claudàtors, obtenim

\begin{matrix} (l - ϵ / 2) (b_{n} - b_{ν + 1}) + a_{ν + 1} = (l - ϵ / 2) [(b_{n} - b_{n - 1}) + \dots + (b_{ν + 2} - b_{ν + 1})] + a_{ν + 1} < a_{n} \\ a_{n} < (l + ϵ / 2) [(b_{n} - b_{n - 1}) + \dots + (b_{ν + 2} - b_{ν + 1})] + a_{ν + 1} = (l + ϵ / 2) (b_{n} - b_{ν + 1}) + a_{ν + 1} . \end{matrix}

Ara, com que $b_{n} \to + \infty$ amb $n \to \infty$ , hi ha un $n_{0} > 0$ tal que $b_{n} > 0$ per a tots els $n > n_{0}$ , i podem dividir les dues desigualtats per $b_{n}$ per a tots els $n > \max {ν, n_{0}}$

(l - ϵ / 2) + \frac{a_{ν + 1} - b_{ν + 1} (l - ϵ / 2)}{b_{n}} < \frac{a_{n}}{b_{n}} < (l + ϵ / 2) + \frac{a_{ν + 1} - b_{ν + 1} (l + ϵ / 2)}{b_{n}} .

Les dues successios (que només es defineixen per a $n > n_{0}$ ja que podria haver-hi un $N \leq n_{0}$ tal que $b_{N} = 0$ )

c_{n}^{\pm} : = \frac{a_{ν + 1} - b_{ν + 1} (l \pm ϵ / 2)}{b_{n}}

són infinitesimals ja que $b_{n} \to + \infty$ i el numerador és un nombre constant, per tant, per a tot $ϵ / 2 > 0$ existeix $n_{\pm} > n_{0} > 0$ , de manera que

\begin{matrix} | c_{n}^{+} | < ϵ / 2, \forall n > n_{+}, \\ | c_{n}^{-} | < ϵ / 2, \forall n > n_{-}, \end{matrix}

per tant

l - ϵ < l - ϵ / 2 + c_{n}^{-} < \frac{a_{n}}{b_{n}} < l + ϵ / 2 + c_{n}^{+} < l + ϵ, \forall n > \max {ν, n_{\pm}} = : N > 0,

que conclou la prova.

El cas amb $(b_{n})$ estrictament decreixent i divergent a $- \infty$ , i $l < \infty$ és similar.

Cas 2: suposem que $(b_{n})$ estrictament creixent i divergent a $+ \infty$ i $l = + \infty$ . Seguint com abans, per a tots els $2 M > 0$ hi ha $ν > 0$ de manera que per a tots els $n > ν$

\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} > 2 M .

De nou, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes dins dels claudàtors obtenim

a_{n} > 2 M (b_{n} - b_{ν + 1}) + a_{ν + 1}, \forall n > ν,

i

\frac{a_{n}}{b_{n}} > 2 M + \frac{a_{ν + 1} - 2 M b_{ν + 1}}{b_{n}}, \forall n > \max {n u, n_{0}} .

La successió $(c_{n})_{n > n_{0}}$ definida per

c_{n} : = \frac{a_{ν + 1} - 2 M b_{ν + 1}}{b_{n}}

és infinitesimal, per tant

\forall M > 0 \exists \bar{n} > n_{0} > 0 tal que - M < c_{n} < M, \forall n > \bar{n},

combinant aquesta desigualtat amb l'anterior concloem

\frac{a_{n}}{b_{n}} > 2 M + c_{n} > M, \forall n > \max {ν, \bar{n}} = : N .

Les demostracions dels altres casos amb $(b_{n})$ estrictament creixent o decreixent i s'acosten a $+ \infty$ o $- \infty$ respectivament i $l = \pm \infty$ tots procedeixen de la mateixa manera.

Demostració del teorema per al cas Plantilla:Math

Cas 1: primer considerem el cas amb $l < \infty$ i $(b_{n})$ estrictament decreixents. Aquesta vegada, per cada $ν > 0$ , podem escriure

a_{n} = (a_{n} - a_{n + 1}) + \dots + (a_{n + ν - 1} - a_{n + ν}) + a_{n + ν},

i per a qualsevol $ϵ / 2 > 0,$ $\exists n_{0}$ de manera que per a tots els $n > n_{0}$ tenim

\begin{matrix} (l - ϵ / 2) (b_{n} - b_{n + ν}) + a_{n + ν} = (l - ϵ / 2) [(b_{n} - b_{n + 1}) + \dots + (b_{n + ν - 1} - b_{n + ν})] + a_{n + ν} < a_{n} \\ a_{n} < (l + ϵ / 2) [(b_{n} - b_{n + 1}) + \dots + (b_{n + ν - 1} - b_{n + ν})] + a_{n + ν} = (l + ϵ / 2) (b_{n} - b_{n + ν}) + a_{n + ν} . \end{matrix}

Les dues successions

c_{ν}^{\pm} : = \frac{a_{n + ν} - b_{n + ν} (l \pm ϵ / 2)}{b_{n}}

són infinitesimals ja que per hipòtesi $a_{n + ν}, b_{n + ν} \to 0$ amb $ν \to \infty$ , per tant, per a tots els $ϵ / 2 > 0$ hi ha $ν_{\pm} > 0$ de tal manera que

\begin{matrix} | c_{ν}^{+} | < ϵ / 2, \forall ν > ν_{+}, \\ | c_{ν}^{-} | < ϵ / 2, \forall ν > ν_{-}, \end{matrix}

així, escollint $ν$ adequadament (és a dir, agafant el límit respecte a $ν$ ) obtenim

l - ϵ < l - ϵ / 2 + c_{ν}^{-} < \frac{a_{n}}{b_{n}} < l + ϵ / 2 + c_{ν}^{+} < l + ϵ, \forall n > n_{0}

que conclou la prova.

Cas 2: suposem que $l = + \infty$ i $(b_{n})$ estan estrictament decreixents. Per a tots els $2 M > 0$ existeix $n_{0} > 0$ de manera que per a tots els $n > n_{0},$

\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} > 2 M ⟹ a_{n} - a_{n + 1} > 2 M (b_{n} - b_{n + 1}) .

Per tant, per a cada $ν > 0,$

\frac{a_{n}}{b_{n}} > 2 M + \frac{a_{n + ν} - 2 M b_{n + ν}}{b_{n}}, \forall n > n_{0} .

La successió

c_{ν} : = \frac{a_{n + ν} - 2 M b_{n + ν}}{b_{n}}

convergeix a $0$ (mantenint $n$ fixa). Per tant

\forall M > 0 \exists \bar{ν} > 0

de manera que

- M < c_{ν} < M, \forall ν > \bar{ν},

i, escollint $ν$ convenientment, concloem la demostració

\frac{a_{n}}{b_{n}} > 2 M + c_{ν} > M, \forall n > n_{0} .

Aplicacions i exemples

El teorema sobre el cas $\cdot / \infty$ té unes quantes conseqüències notables que són útils en el càlcul de límits.

Sumatori aritmètic

Sigui $(x_{n})$ una successió de nombres reals que convergeix a $l$ , definim

a_{n} : = \sum_{m = 1}^{n} x_{m} = x_{1} + \dots + x_{n}, b_{n} : = n

aleshores $(b_{n})$ és estrictament creixent i divergeix a $+ \infty$ . Calculem

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = \lim_{n \to \infty} x_{n + 1} = \lim_{n \to \infty} x_{n} = l

per tant

\lim_{n \to \infty} \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n} = \lim_{n \to \infty} x_{n} .

Donada qualsevol successió
$(x_{n})_{n \geq 1}$
de nombres reals, suposem que
$\lim_{n \to \infty} x_{n}$

(finit o infinit), llavors existeix

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n} = \lim_{n \to \infty} x_{n} .$

Sumatori geomètric

Sigui $(x_{n})$ una successió de nombres reals positius que convergeixen a $l$ i definim

a_{n} : = \log (x_{1} \dots x_{n}), b_{n} : = n,

tornem a calcular

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = \lim_{n \to \infty} \log (\frac{x_{1} \dots x_{n + 1}}{x_{1} \dots x_{n}}) = \lim_{n \to \infty} \log (x_{n + 1}) = \lim_{n \to \infty} \log (x_{n}) = \log (l),

on hem utilitzat el fet que el logaritme és continu. Així

\lim_{n \to \infty} \frac{\log (x_{1} \dots x_{n})}{n} = \lim_{n \to \infty} \log ((x_{1} \dots x_{n})^{\frac{1}{n}}) = \log (l),

com que el logaritme és alhora continu i injectiu podem concloure que

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_{1} \dots x_{n}} = \lim_{n \to \infty} x_{n}

.

Donada qualsevol successió
$(x_{n})_{n \geq 1}$
de nombres reals (estrictament) positius, suposem que
$\lim_{n \to \infty} x_{n}$

existeix (finit o infinit), doncs

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_{1} \dots x_{n}} = \lim_{n \to \infty} x_{n} .$

Suposem que se'ns dona una successió $(y_{n})_{n \geq 1}$ i se'ns demana que calculem

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{y_{n}},

definint $y_{0} = 1$ i $x_{n} = y_{n} / y_{n - 1}$ obtenim

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_{1} \dots x_{n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{y_{1} \dots y_{n}}{y_{0} \cdot y_{1} \dots y_{n - 1}}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{y_{n}},

si apliquem la propietat anterior

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{y_{n}} = \lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{y_{n}}{y_{n - 1}} .

Aquesta última forma sol ser la més útil per calcular límits

Donada qualsevol successió
$(y_{n})_{n \geq 1}$
de nombres reals (estrictament) positius, suposem que
$\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n + 1}}{y_{n}}$

existeix (finit o infinit), doncs

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{y_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{y_{n + 1}}{y_{n}} .$

Exemples

Exemple 1

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n} = 1 .

Exemple 2

\begin{matrix} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} & = \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1)! (n^{n})}{n! (n + 1)^{n + 1}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} = \frac{1}{e} \end{matrix}

on hem utilitzat la representació de $e$ com a límit d'una successió.

Història

El cas ∞/∞ està enunciat i provat a les pàgines 173-175 del llibre de Stolz de 1885Plantilla:Sfn i també a la pàgina 54 de l'article de Cesàro de 1888.Plantilla:Sfn

Apareix com el problema 70 a [Pólya, Szegő 1925].Plantilla:Sfn

La forma general

Enunciat

La forma general del teorema de Stolz–Cesàro és la següent:^[1] Si $(a_{n})_{n \geq 1}$ i $(b_{n})_{n \geq 1}$ són dues successions tals que $(b_{n})_{n \geq 1}$ és monòton i no fitat:

\underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} .

Demostració

En lloc de demostrar l'afirmació anterior, en demostrarem una lleugerament diferent; primer introduïm una notació: sigui $(a_{n})_{n \geq 1}$ qualsevol successió, la seva suma parcial es denotarà per $A_{n} : = \sum_{m \geq 1}^{n} a_{m}$ . L'enunciat equivalent que demostrarem és:

Siguin
$(a_{n})_{n \geq 1}, (b_{n})_{\geq 1}$
dues successions qualsevol de nombres reals tals que
$b_{n} > 0, \forall n \in ℤ_{> 0}$ ,

$\lim_{n \to \infty} B_{n} = + \infty$ ,

llavors

$\underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{A_{n}}{B_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{A_{n}}{B_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n}}{b_{n}} .$

Prova de l'enunciat equivalent

Primer observem que:

$\underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{A_{n}}{B_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{A_{n}}{B_{n}}$ sosté per definició de límit superior i límit inferior;
$\underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{A_{n}}{B_{n}}$ es manté si i només si $\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{A_{n}}{B_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ perquè $\underset{n \to \infty}{lim inf} x_{n} = - \underset{n \to \infty}{lim sup} (- x_{n})$ per a qualsevol successió $(x_{n})_{n \geq 1}$ .

Per tant, només hem de demostrar que $\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{A_{n}}{B_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ . Si $L : = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n}}{b_{n}} = + \infty$ no hi ha res a demostrar, per tant podem suposar $L < + \infty$ (pot ser finit o $- \infty$ ). Per definició de $lim sup$ , per a tot $l > L$ hi ha un nombre natural $ν > 0$ de tal manera que

\frac{a_{n}}{b_{n}} < l, \forall n > ν .

Podem utilitzar aquesta desigualtat per escriure

A_{n} = A_{ν} + a_{ν + 1} + \dots + a_{n} < A_{ν} + l (B_{n} - B_{ν}), \forall n > ν,

Perquè $b_{n} > 0$ , també tenim $B_{n} > 0$ i podem dividir per $B_{n}$ per aconseguir

\frac{A_{n}}{B_{n}} < \frac{A_{ν} - l B_{ν}}{B_{n}} + l, \forall n > ν .

A partir que $B_{n} \to + \infty$ amb $n \to + \infty$ , la successió

\frac{A_{ν} - l B_{ν}}{B_{n}} \to 0 amb n \to + \infty (mantenint ν fix),

i obtenim

\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{A_{n}}{B_{n}} \leq l, \forall l > L,

Per definició de límit superior mínim, això significa precisament això

\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{A_{n}}{B_{n}} \leq L = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n}}{b_{n}},

i hem acabat.

Prova de l'enunciat original

Ara, prenem $(a_{n}), (b_{n})$ com en l'enunciat de la forma general del teorema de Stolz-Cesàro i definim

α_{1} = a_{1}, α_{k} = a_{k} - a_{k - 1}, \forall k > 1 β_{1} = b_{1}, β_{k} = b_{k} - b_{k - 1} \forall k > 1

a partir que $(b_{n})$ és estrictament monòton (podem suposar que augmenta estrictament, per exemple), $β_{n} > 0$ per a tot $n$ i a partir que $b_{n} \to + \infty$ també $B_{n} = b_{1} + (b_{2} - b_{1}) + \dots + (b_{n} - b_{n - 1}) = b_{n} \to + \infty$ , així podem aplicar el teorema que acabem de demostrar $(α_{n}), (β_{n})$ (i les seves sumes parcials $(A_{n}), (B_{n})$ )

\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{A_{n}}{B_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{α_{n}}{β_{n}} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n} - a_{n - 1}}{b_{n} - b_{n - 1}},

que és exactament el que volíem demostrar.

Referències

Plantilla:Referències

Bibliografia

Plantilla:Div col

Plantilla:Div col end

Plantilla:Autoritat

↑ Plantilla:Ref-web

[1] Plantilla:Ref-web

[1]

Teorema de Stolz-Cesàro

Contingut

Enunciat del teorema per al cas Plantilla:Math

Enunciat del teorema per al cas Plantilla:Math

Criteri de Stolz de l'arrel

Demostracions

Demostració del teorema per al cas Plantilla:Math

Demostració del teorema per al cas Plantilla:Math

Aplicacions i exemples

Sumatori aritmètic

Sumatori geomètric

Exemples

Exemple 1

Exemple 2

Història

La forma general

Enunciat

Demostració

Prova de l'enunciat equivalent

Prova de l'enunciat original

Referències

Bibliografia

Menú de navegació

Teorema de Stolz-Cesàro

Enunciat del teorema per al cas Plantilla:Math

Enunciat del teorema per al cas Plantilla:Math

Criteri de Stolz de l'arrel

Demostracions

Demostració del teorema per al cas Plantilla:Math

Demostració del teorema per al cas Plantilla:Math

Aplicacions i exemples

Sumatori aritmètic

Sumatori geomètric

Exemples

Exemple 1

Exemple 2

Història

La forma general

Enunciat

Demostració

Prova de l'enunciat equivalent

Prova de l'enunciat original

Referències

Bibliografia

Menú de navegació

Cerca