Mostra la font per a Distribució normal complexa

{{Infotaula distribució de probabilitat||name=Distribució normal complexa|type=density|pdf_image=|cdf_image=|parameters=|support=|pdf=|cdf=|mean=|median=|mode=|variance=|skewness=|kurtosis=|entropy=|mgf=|char=}}En [[Teoria de la probabilitat|teoria de probabilitats]], la família de '''distribucions normals complexes''', denotat <math>\mathcal{CN}</math> o <math>\mathcal{N}_{\mathcal{C}}</math>, caracteritza [[Variable aleatòria complexa|variables aleatòries complexes]] les parts reals i imaginàries de les quals són conjuntament [[Distribució normal multivariable|normals]]. La família normal complexa té tres paràmetres: paràmetre ''de localització'' ''μ'', matriu ''de covariància'' <math>\Gamma</math>, i la matriu ''de relacions'' <math>C</math>. La '''normal complex estàndard''' és la distribució univariada amb <math>\mu = 0</math>, <math>\Gamma=1</math>, i <math>C=0</math>.

Una [[Classe (biologia)|subclasse]] important de la família normal complexa s'anomena la '''normal complexa de simètrica circular (central)''' i correspon al cas de la matriu de relació zero i la mitjana zero: <math> \mu = 0 </math> i <math> C=0 </math>. Aquest cas s'utilitza àmpliament en [[Processament de senyals|el processament del senyal]], on de vegades es coneix com a '''normal complex''' a la literatura.<ref>{{Ref-web|url=https://www.casact.org/sites/default/files/database/forum_15fforum_halliwell_complex.pdf|títol=Complex Random Variables|consulta=5-7-2023|llengua=anglès|editor=https://www.casact.org}}</ref>

== Definicions ==
=== Variable aleatòria normal estàndard complexa ===
La '''variable aleatòria normal complexa estàndard''' o '''la variable aleatòria gaussiana complexa estàndard''' és una [[variable aleatòria]] complexa <math>Z</math> les parts reals i imaginàries de les quals són variables aleatòries independents distribuïdes normalment amb mitjana zero i variància <math>1/2</math>.<ref name="Lapidoth">{{Ref-llibre|cognom=Lapidoth, A.|títol=A Foundation in Digital Communication|editorial=Cambridge University Press|any=2009|isbn=9780521193955|llengua=anglès}}</ref> {{Rp|p. 494}} <ref name="TseViswanath">{{Ref-llibre|nom=David|cognom=Tse|any=2005|títol=Fundamentals of Wireless Communication|editorial=Cambridge University Press|isbn=9781139444668|url=https://books.google.cat/books?id=GdsLAQAAQBAJ&q=%22random+variable%22|llengua=anglès}}</ref> {{Rp|pp. 501}} Formalment,
{{Caixa d'equació|border|indent=|title=|equation={{NumBlk||<math>Z \sim \mathcal{CN}(0,1) \quad \iff \quad \Re(Z) \perp\!\!\!\perp \Im(Z) \text{ and } \Re(Z) \sim \mathcal{N}(0,1/2) \text{ and } \Im(Z) \sim \mathcal{N}(0,1/2)</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}
on <math>Z \sim \mathcal{CN}(0,1)</math> denota això <math>Z</math> és una variable aleatòria normal complexa estàndard.

=== Variable aleatòria normal complexa ===
Suposem <math>X</math> i <math>Y</math> són variables aleatòries reals de tal manera que <math>(X,Y)^{\mathrm T}</math> és un [[Distribució normal multivariable|vector aleatori normal]] bidimensional. A continuació, la variable aleatòria complexa <math>Z=X+iY</math> s'anomena '''variable aleatòria normal complexa''' o '''variable aleatòria gaussiana complexa'''.<ref name="Lapidoth2">{{Ref-llibre|cognom=Lapidoth, A.|títol=A Foundation in Digital Communication|editorial=Cambridge University Press|any=2009|isbn=9780521193955|llengua=anglès}}</ref> {{Rp|p. 500}}
{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation={{NumBlk||<math>Z \text{ complex normal random variable} \quad \iff \quad (\Re(Z),\Im(Z))^{\mathrm T} \text{ real normal random vector} </math>|{{EquationRef|Eq.2}}}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}

=== Vector aleatori normal estàndard complex ===
Un vector aleatori complex n-dimensional <math>\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots,Z_n)^{\mathrm T}</math> és un '''vector aleatori normal complex estàndard''' o '''un vector aleatori gaussià estàndard complex''' si els seus components són independents i totes són variables aleatòries normals complexes estàndard tal com es defineix anteriorment.<ref name="Lapidoth3">{{Ref-llibre|cognom=Lapidoth, A.|títol=A Foundation in Digital Communication|editorial=Cambridge University Press|any=2009|isbn=9780521193955|llengua=anglès}}</ref> {{Rp|p. 502}} <ref name="TseViswanath2">{{Ref-llibre|nom=David|cognom=Tse|any=2005|títol=Fundamentals of Wireless Communication|editorial=Cambridge University Press|isbn=9781139444668|url=https://books.google.cat/books?id=GdsLAQAAQBAJ&q=%22random+variable%22|llengua=anglès}}</ref> {{Rp|pp. 501}}Això <math>\mathbf{Z}</math> és un vector aleatori normal complex estàndard es denota <math>\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN}(0,\boldsymbol{I}_n)</math>.
{{Caixa d'equació|border|indent=|title=|equation={{NumBlk||<math>\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN}(0,\boldsymbol{I}_n) \quad \iff (Z_1,\ldots,Z_n) \text{ independent} \text{ and for } 1 \leq i \leq n : Z_i \sim \mathcal{CN}(0,1)</math>|{{EquationRef|Eq.3}}}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}

=== Vector aleatori normal complex ===
Si <math>\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathrm T}</math> i <math>\mathbf{Y}=(Y_1,\ldots,Y_n)^{\mathrm T}</math> són [[Vector aleatori|vectors aleatoris]] en <math>\mathbb{R}^n</math> de tal manera que <math>[\mathbf{X},\mathbf{Y}]</math> és un [[Distribució normal multivariable|vector aleatori normal]] amb <math>2n</math> components. Aleshores diem que el [[vector aleatori complex]]

<math>
 \mathbf{Z} = \mathbf{X} + i \mathbf{Y} \,
 </math>

és un '''vector aleatori normal complex''' o un '''vector aleatori gaussià complex'''.
{{Caixa d'equació|border|indent=|title=|equation={{NumBlk||<math>\mathbf{Z} \text{ complex normal random vector} \quad \iff \quad (\Re(\mathbf{Z}^{\mathrm T}),\Im(\mathbf{Z}^{\mathrm T}))^{\mathrm T} = (\Re(Z_1),\ldots,\Re(Z_n),\Im(Z_1),\ldots,\Im(Z_n))^{\mathrm T} \text{ real normal random vector} </math>|{{EquationRef|Eq.4}}}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}

== Referències ==
{{Referències}}

[[Categoria:Distribucions de probabilitat|Normal Complexa]]