Distribució normal complexa

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitatEn teoria de probabilitats, la família de distribucions normals complexes, denotat $𝒞𝒩$ o ${𝒩}_{𝒞}$, caracteritza variables aleatòries complexes les parts reals i imaginàries de les quals són conjuntament normals. La família normal complexa té tres paràmetres: paràmetre de localització μ, matriu de covariància $\mathrm{\Gamma }$, i la matriu de relacions $C$. La normal complex estàndard és la distribució univariada amb $\mu =0$, $\mathrm{\Gamma }=1$, i $C=0$.

Una subclasse important de la família normal complexa s'anomena la normal complexa de simètrica circular (central) i correspon al cas de la matriu de relació zero i la mitjana zero: $\mu =0$ i $C=0$. Aquest cas s'utilitza àmpliament en el processament del senyal, on de vegades es coneix com a normal complex a la literatura.

Definicions

Variable aleatòria normal estàndard complexa

La variable aleatòria normal complexa estàndard o la variable aleatòria gaussiana complexa estàndard és una variable aleatòria complexa $Z$ les parts reals i imaginàries de les quals són variables aleatòries independents distribuïdes normalment amb mitjana zero i variància $1/2$. Plantilla:Rp Plantilla:Rp Formalment,

on $Z\sim 𝒞𝒩(0,1)$ denota això $Z$ és una variable aleatòria normal complexa estàndard.

Variable aleatòria normal complexa

Suposem $X$ i $Y$ són variables aleatòries reals de tal manera que $(X,Y{)}^{\mathrm{T}}$ és un vector aleatori normal bidimensional. A continuació, la variable aleatòria complexa $Z=X+iY$ s'anomena variable aleatòria normal complexa o variable aleatòria gaussiana complexa. Plantilla:Rp Plantilla:Equation box 1

Vector aleatori normal estàndard complex

Un vector aleatori complex n-dimensional $𝐙=(Z_1,\dots ,Z_n{)}^{\mathrm{T}}$ és un vector aleatori normal complex estàndard o un vector aleatori gaussià estàndard complex si els seus components són independents i totes són variables aleatòries normals complexes estàndard tal com es defineix anteriorment. Plantilla:Rp Plantilla:RpAixò $𝐙$ és un vector aleatori normal complex estàndard es denota $𝐙\sim 𝒞𝒩(0,{𝑰}_n)$.

Vector aleatori normal complex

Si $𝐗=(X_1,\dots ,X_n{)}^{\mathrm{T}}$ i $𝐘=(Y_1,\dots ,Y_n{)}^{\mathrm{T}}$ són vectors aleatoris en ${ℝ}^n$ de tal manera que $[𝐗,𝐘]$ és un vector aleatori normal amb $2n$ components. Aleshores diem que el vector aleatori complex

$𝐙=𝐗+i𝐘$

és un vector aleatori normal complex o un vector aleatori gaussià complex.