Mostra la font per a Extensió d'Alexandroff

En el camp [[Matemàtiques|matemàtic]] de la [[topologia]], l{{'}}'''extensió d{{'}}Alexandroff''' és una forma d'estendre un [[espai topològic]] no compacte mitjançant l'addició d'un sol punt, donant com a resultat un [[espai compacte]]. Aquest concepte rep el nom del matemàtic rus [[Pavel Alexàndrov]].

Més en concret, sigui ''X'' un espai topològic. Es defineix l'extensió d'Alexandroff de ''X'' com un cert espai compacte ''X''* juntament amb un ''[[embedding]]'' [[Aplicacions obertes i aplicacions tancades|obert]] ''c'': ''X'' → ''X''* tal que el complement de ''X'' dins ''X''* consisteix d'un sol punt, denotat habitualment per ∞. L'aplicació ''c'' és una [[Compactificació (matemàtiques)|compactificació]] Hausdorff [[si i només si]] ''X'' és un [[espai de Hausdorff]] no compacte, però localment compacte. Per a aquest tipus d'espais, hom diu que l'extensió d'Alexandroff és la '''compactificació d{{'}}Alexandroff''' o la '''compactificació d'un punt'''. Els avantatges de la compactificació d'Alexandroff rauen en la seva estructura simple i, sovint, geomètricament significativa, i en el fet que és la mínima compactificació entre totes les possibles; per altra banda, el desavantatge és que només proporciona una compactificació Hausdorff sobre la classe d'espais Hausdorff no compactes i alhora localment compactes, al contrari que la [[compactificació de Stone-Čech]], que existeix per a qualsevol [[espai de Tychonoff]], una classe molt més àmplia d'espais.

== Exemple: projecció estereogràfica inversa ==
[[Fitxer:Stereographic projection.svg|miniatura|Projecció estereogràfica]]
Un exemple geomètric de la compactificació d'Alexandroff ve donat per la [[Projecció azimutal estereogràfica|projecció estereogràfica]] inversa. Recodem que la projecció estereogràfica ''S'' proporciona un homeomorfisme explícit des de l'esfera unitat menys el pol nord (0,0,1) sobre el pla euclidià. La projecció estereogràfica inversa <math>S^{-1}: \mathbb{R}^2 \hookrightarrow S^2</math> és un ''embedding'' dens i obert dins d'un espai Hausdorff [[Conjunt compacte|compacte]], que s'obté mitjançant l'addició del punt addicional <math>\infty = (0,0,1)</math>. Aplicant la projecció estereogràfica, els cercles latitudinals <math>z = c</math> s'envien a circumferències planars <math>r = \sqrt{(1+c)/(1-c)}</math>. D'aquí, es té que la base d'[[Veïnat (matemàtiques)|entorns]] perforats de <math>(1,0,0)</math> donada pels [[Casquet esfèric|casquets esfèrics]] perforats <math>c \leq z < 1</math> correspon als complements dels discs planars tancats <math>r \geq \sqrt{(1+c)/(1-c)}</math>. Des d'un punt de vista qualitatiu, una base d'entorns al punt <math>\infty</math> ve donada pels conjunts <math>S^{-1}(\mathbb{R}^2 
\setminus K) \cup \{ \infty \}</math>, on ''K'' recorre els subconjunts compactes de <math>\mathbb{R}^2</math>. Aquest exemple, encara que és un cas particular, conté els conceptes clau per al cas general.

== Motivació ==
Sigui <math>c: X \hookrightarrow Y</math> un ''embedding'' d'un espai topològic ''X'' dintre d'un [[Espai de Hausdorff|espai topològic Hausdorff]] [[Conjunt compacte|compacte]] ''Y'', amb [[Imatge (matemàtiques)|imatge]] [[Conjunt dens|densa]] i un residu compost per un sol punt <math>\{ \infty \} = Y \setminus c(X)</math>. Llavors ''c''(''X'') és un [[conjunt obert]] dins d'un espai Hausdorff compacte i, per tant, és localment compacte Hausdorff; d'on la seva imatge [[Homeomorfisme|homeomorfa]] ''X'' també és localment compacta Hausdorff. Addicionalment, si ''X'' fos compacte, llavors ''c''(''X'') seria [[Conjunt tancat|tancat]] a ''Y'' i, per tant, no seria dens. Així, un espai només pot admetre una compactificació d'Alexandroff si és localment compacte, no compacte, i Hausdorff. Encara més, en una tal compactificació d'Alexandroff, la imatge d'una [[Base (topologia)|base]] d'[[Veïnat (matemàtiques)|entorns]] de ''x'' a ''X'' proporciona una base d'entorns per de ''c''(''x'') dins ''c''(''X''), i {{nowrap|–com}} que un [[subconjunt]] d'un espai Hausdorff compacte és compacte si i només si és {{nowrap|tancat–}} els entorns oberts de <math>\infty</math> han de ser tots conjunts obtinguts per adjunció de <math>\infty</math> a la imatge per ''c'' d'un subconjunt de ''X'' amb complement compacte.

== L'extensió d'Alexandroff ==
Sigui ''X'' un espai topològic qualsevol, i sigui <math>\infty</math> qualsevol objecte que no sigui un element de ''X''. Escrivim <math>X^* = X \cup \{\infty \}</math>, i fixem una topologia a <math>X^*</math> on els conjunts oberts siguin tots els subconjunts oberts ''U'' de ''X'' juntament amb tots els subconjunts ''V'' que contenen <math>\infty</math> i tals que <math>X \setminus V</math> és tancat i compacte {{harv|Kelley|1975|p=150}}.

Hom diu que la inclusió <math>c: X \rightarrow X^*</math> és l{{'}}'''extensió d{{'}}Alexandroff''' de ''X'' ({{harvnb|Willard|1970}}, 19A).

Hom pot observar les següents propietats:
* L'aplicació ''c'' és contínua i oberta: submergeix ''X'' com a subconjunt obert de <math>X^*</math>.
* L'espai <math>X^*</math> és compacte.
* La imatge ''c''(''X'') és densa a <math>X^*</math>, si ''X'' no és compacte.
* L'espai <math>X^*</math> és [[Espai de Hausdorff|Hausdorff]] si i només si ''X'' és Hausdorff i [[Espai localment compacte|localment compacte]].

== La compactificació d'Alexandroff (o d'un punt) ==
En particular, l'extensió d'Alexandroff <math>c: X \rightarrow X^*</math> és una compactificació de ''X'' si i només si ''X'' és Hausdorff, no compacte i localment compacte. En aquest cas, hom l'anomena '''compactificació d'Alexandroff''' o '''compactificació d'un punt''' de ''X''. Recordem pel que hem vist abans que qualsevol compactificació amb un residu format per un punt és necessàriament (isomorfa a) la compactificació d'Alexandroff.

Sigui ''X'' un espai de Tychonoff qualsevol. Amb l'ordre parcial natural definit sobre el conjunt <math>\mathcal{C}(X)</math> de [[Classe d'equivalència|classes d'equivalència]] de compactificacions, qualsevol element mínim és equivalent a l'extensió d'Alexandroff ({{harvnb|Engelking|1989}}, Teorema 3.5.12). Una conseqüència és que un espau no compacte de Tychonoff admet una compactificació mínima si i només si és localment compacte.

== Exemples addicionals ==
* La compactificació d'Alexandroff del conjunt d'[[Nombre enter|enters]] positius és [[Homeomorfisme|homeomorfa]] a l'espai ''K'' = {0} U {''1/n'' | ''n'' és un enter positiu} amb la topologia de l'ordre.
* La compactificació d'Alexandroff de l'espai euclidià ''n''-dimensioanl ''R''<sup>n</sup> és homeomorfa a la ''n''-esfera ''S''<sup>n</sup>. Com abans, l'aplicació es pot construir de forma explícita con una projecció estereogràfica inversa ''n''-dimensional.
* Com que la clausura d'un subconjunt connex és connexa, l'extensió d'Alexandroff d'un espai connex no compacte és connexa. Tot i això, la compactificació d'Alexandroff pot fer que un espai no connex esdevingui connex: per exemple, la compactificació d'Alexandroff de la [[unió disjunta]] de <math>\kappa</math> còpies de l'interval ''(0,1)'' [[Rosa (matemàtiques)|rosa]] de <math>\kappa</math> circumferències ({{en}} ''Bouquet of circles'').
* Hom pot interpretar l'extensió d'Alexandroff com un functor des de la categoria d'espais topològics amb aplicacions contínues pròpies com a morfismes, cap a la categoria els objectes de la qual són aplicacions contínues <math>c: X \rightarrow Y</math> i per a la qual els morfismes de <math>c_1: X_1 \rightarrow Y_1</math> a <math>c_2: X_2 \rightarrow Y_2</math> són parells d'aplicacions contínues <math>f_X: X_1 \rightarrow X_2, \ f_Y: Y_1 \rightarrow Y_2</math> tals que <math>f_Y \circ c_1 = c_2 \circ f_X</math>. En particular, els espais homeomorfs tenen extensions d'Alexandroff isomorfes.
* Una successió <math>\{a_n\}</math> en un espai topològic <math>X</math> convergeix cap a un punt <math>a</math> de <math>X</math>, si i només si l'aplicació <math>f\colon\mathbb N^*\to X</math> donada per <math>f(n) = a_n</math> amb <math>n</math> de <math>\mathbb N</math> i <math>f(\infty) = a</math> és contínua. Aquí, <math>\mathbb N</math> té la [[topologia discreta]].
* Els [[Espai poliàdic|espais poliàdics]] estan definits com a espais topològics que són la imatge contínua de la potència d'una compactificació d'Alexandroff d'un espai Hausdorff discret i localment compacte.
* L'espai de funcions contínues <math>C\left(\Omega \right)</math> sobre un espai Hausdorff localment compacte <math>\Omega</math> és localment compacte, però es pot fer compacte si i només si s'hi inclou el punt <math>f(x)=1</math> per a tot <math>x</math>.

== Bibliografia ==
* {{ref-publicació|cognom=Alexandroff|nom=Pavel S.|publicació= Math. Ann. |volum= 92|exemplar=3-4 |any=1924|pàgines= 294–301|títol= Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume | url=https://eudml.org/doc/159072 | doi=10.1007/BF01448011 | id=[https://zbmath.org/?format=complete&q=an:50.0128.04 JFM 50.0128.04]}}
* {{ref-publicació|
cognom=Brown|nom=Ronald
| publicació= J. London Math Soc. (2) | zbl=0269.54015 | doi=10.1112/jlms/s2-7.3.515
|volum = 7 
| any= 1973
| pàgines= 515–522
|títol= Sequentially proper maps and a sequential compactification}}
* {{ref-llibre | cognom=Engelking | nom=Ryszard | enllaçautor= Ryszard Engelking | títol=General Topology | editorial=[[Helderman Verlag Berlin]] | isbn=978-0-201-08707-9 | mr=1039321 | any=1989}}
* {{springer|id=A/a011260|first=V.V. |last=Fedorchuk|title=Aleksandrov compactification}}
* {{ref-llibre| cognom=Kelley | nom=John L. | enllaçautor=John L. Kelley | títol=General Topology | editorial=[[Springer-Verlag]] | lloc=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90125-1 | mr=0370454 | any=1975}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Munkres|nom=James
 | any = 1999
 | títol = Topology
 | edició = 2a edició
 | editorial = [[Prentice Hall]]
 | isbn = 0-13-181629-2 | zbl=0951.54001
}}
* {{ref-llibre | cognom=Willard | nom=Stephen | títol=General Topology | editorial=[[Addison-Wesley]] | isbn=3-88538-006-4 | mr=0264581 | zbl=0205.26601 | any=1970}}

== Vegeu també ==
* [[Esfera de Riemann]]
* [[Espai normal]]
* [[Projecció azimutal estereogràfica]]

[[Categoria:Topologia]]