Extensió d'Alexandroff

En el camp matemàtic de la topologia, lPlantilla:'extensió dPlantilla:'Alexandroff és una forma d'estendre un espai topològic no compacte mitjançant l'addició d'un sol punt, donant com a resultat un espai compacte. Aquest concepte rep el nom del matemàtic rus Pavel Alexàndrov.

Més en concret, sigui X un espai topològic. Es defineix l'extensió d'Alexandroff de X com un cert espai compacte X* juntament amb un embedding obert c: X → X* tal que el complement de X dins X* consisteix d'un sol punt, denotat habitualment per ∞. L'aplicació c és una compactificació Hausdorff si i només si X és un espai de Hausdorff no compacte, però localment compacte. Per a aquest tipus d'espais, hom diu que l'extensió d'Alexandroff és la compactificació dPlantilla:'Alexandroff o la compactificació d'un punt. Els avantatges de la compactificació d'Alexandroff rauen en la seva estructura simple i, sovint, geomètricament significativa, i en el fet que és la mínima compactificació entre totes les possibles; per altra banda, el desavantatge és que només proporciona una compactificació Hausdorff sobre la classe d'espais Hausdorff no compactes i alhora localment compactes, al contrari que la compactificació de Stone-Čech, que existeix per a qualsevol espai de Tychonoff, una classe molt més àmplia d'espais.

Exemple: projecció estereogràfica inversa

Projecció estereogràfica

Un exemple geomètric de la compactificació d'Alexandroff ve donat per la projecció estereogràfica inversa. Recodem que la projecció estereogràfica S proporciona un homeomorfisme explícit des de l'esfera unitat menys el pol nord (0,0,1) sobre el pla euclidià. La projecció estereogràfica inversa $S^{-1}:{ℝ}^2\hookrightarrow S^2$ és un embedding dens i obert dins d'un espai Hausdorff compacte, que s'obté mitjançant l'addició del punt addicional $\mathrm{\infty }=(0,0,1)$. Aplicant la projecció estereogràfica, els cercles latitudinals $z=c$ s'envien a circumferències planars $r=\sqrt{(1+c)/(1-c)}$. D'aquí, es té que la base d'entorns perforats de $(1,0,0)$ donada pels casquets esfèrics perforats $c\le z<1$ correspon als complements dels discs planars tancats $r\ge \sqrt{(1+c)/(1-c)}$. Des d'un punt de vista qualitatiu, una base d'entorns al punt $\mathrm{\infty }$ ve donada pels conjunts $S^{-1}({ℝ}^2\setminus K)\cup \{\mathrm{\infty }\}$, on K recorre els subconjunts compactes de ${ℝ}^2$. Aquest exemple, encara que és un cas particular, conté els conceptes clau per al cas general.

Motivació

Sigui $c:X\hookrightarrow Y$ un embedding d'un espai topològic X dintre d'un espai topològic Hausdorff compacte Y, amb imatge densa i un residu compost per un sol punt $\{\mathrm{\infty }\}=Y\setminus c(X)$. Llavors c(X) és un conjunt obert dins d'un espai Hausdorff compacte i, per tant, és localment compacte Hausdorff; d'on la seva imatge homeomorfa X també és localment compacta Hausdorff. Addicionalment, si X fos compacte, llavors c(X) seria tancat a Y i, per tant, no seria dens. Així, un espai només pot admetre una compactificació d'Alexandroff si és localment compacte, no compacte, i Hausdorff. Encara més, en una tal compactificació d'Alexandroff, la imatge d'una base d'entorns de x a X proporciona una base d'entorns per de c(x) dins c(X), i Plantilla:Nowrap que un subconjunt d'un espai Hausdorff compacte és compacte si i només si és Plantilla:Nowrap els entorns oberts de $\mathrm{\infty }$ han de ser tots conjunts obtinguts per adjunció de $\mathrm{\infty }$ a la imatge per c d'un subconjunt de X amb complement compacte.

L'extensió d'Alexandroff

Sigui X un espai topològic qualsevol, i sigui $\mathrm{\infty }$ qualsevol objecte que no sigui un element de X. Escrivim $X^{*}=X\cup \{\mathrm{\infty }\}$, i fixem una topologia a $X^{*}$ on els conjunts oberts siguin tots els subconjunts oberts U de X juntament amb tots els subconjunts V que contenen $\mathrm{\infty }$ i tals que $X\setminus V$ és tancat i compacte Plantilla:Harv.

Hom diu que la inclusió $c:X\to X^{*}$ és lPlantilla:'extensió dPlantilla:'Alexandroff de X (Plantilla:Harvnb, 19A).

Hom pot observar les següents propietats:

• L'aplicació c és contínua i oberta: submergeix X com a subconjunt obert de $X^{*}$.
• L'espai $X^{*}$ és compacte.
• La imatge c(X) és densa a $X^{*}$, si X no és compacte.
• L'espai $X^{*}$ és Hausdorff si i només si X és Hausdorff i localment compacte.

La compactificació d'Alexandroff (o d'un punt)

En particular, l'extensió d'Alexandroff $c:X\to X^{*}$ és una compactificació de X si i només si X és Hausdorff, no compacte i localment compacte. En aquest cas, hom l'anomena compactificació d'Alexandroff o compactificació d'un punt de X. Recordem pel que hem vist abans que qualsevol compactificació amb un residu format per un punt és necessàriament (isomorfa a) la compactificació d'Alexandroff.

Sigui X un espai de Tychonoff qualsevol. Amb l'ordre parcial natural definit sobre el conjunt $𝒞(X)$ de classes d'equivalència de compactificacions, qualsevol element mínim és equivalent a l'extensió d'Alexandroff (Plantilla:Harvnb, Teorema 3.5.12). Una conseqüència és que un espau no compacte de Tychonoff admet una compactificació mínima si i només si és localment compacte.

Exemples addicionals

• La compactificació d'Alexandroff del conjunt d'enters positius és homeomorfa a l'espai K = {0} U {1/n | n és un enter positiu} amb la topologia de l'ordre.
• La compactificació d'Alexandroff de l'espai euclidià n-dimensioanl Rⁿ és homeomorfa a la n-esfera Sⁿ. Com abans, l'aplicació es pot construir de forma explícita con una projecció estereogràfica inversa n-dimensional.
• Com que la clausura d'un subconjunt connex és connexa, l'extensió d'Alexandroff d'un espai connex no compacte és connexa. Tot i això, la compactificació d'Alexandroff pot fer que un espai no connex esdevingui connex: per exemple, la compactificació d'Alexandroff de la unió disjunta de $\kappa$ còpies de l'interval (0,1) rosa de $\kappa$ circumferències (Plantilla:En Bouquet of circles).
• Hom pot interpretar l'extensió d'Alexandroff com un functor des de la categoria d'espais topològics amb aplicacions contínues pròpies com a morfismes, cap a la categoria els objectes de la qual són aplicacions contínues $c:X\to Y$ i per a la qual els morfismes de $c_1:X_1\to Y_1$ a $c_2:X_2\to Y_2$ són parells d'aplicacions contínues $f_X:X_1\to X_2,f_Y:Y_1\to Y_2$ tals que $f_Y\circ c_1=c_2\circ f_X$. En particular, els espais homeomorfs tenen extensions d'Alexandroff isomorfes.
• Una successió $\{a_n\}$ en un espai topològic $X$ convergeix cap a un punt $a$ de $X$, si i només si l'aplicació $f:{\mathbb{N}}^{*}\to X$ donada per $f(n)=a_n$ amb $n$ de $\mathbb{N}$ i $f(\mathrm{\infty })=a$ és contínua. Aquí, $\mathbb{N}$ té la topologia discreta.
• Els espais poliàdics estan definits com a espais topològics que són la imatge contínua de la potència d'una compactificació d'Alexandroff d'un espai Hausdorff discret i localment compacte.
• L'espai de funcions contínues $C\left(\mathrm{\Omega }\right)$ sobre un espai Hausdorff localment compacte $\mathrm{\Omega }$ és localment compacte, però es pot fer compacte si i només si s'hi inclou el punt $f(x)=1$ per a tot $x$.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Springer
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Esfera de Riemann
• Espai normal
• Projecció azimutal estereogràfica