Conjunt tancat

En topologia i altres branques de la matemàtica, un conjunt tancat és un conjunt el complementari del qual és un obert.

Definició d'un conjunt tancat

Donat un espai topològic $(X,\tau )$, un conjunt $C\subseteq X$ és tancat si el seu complementari $X\setminus C$ (també simbolitzat per C^c) és un conjunt obert de la topologia $\tau$.

Això es pot expressar d'altres formes equivalents. com ara:

• Un conjunt és tancat sii coincideix amb la seva adherència.
• Un conjunt és tancat sii conté tots els seus punts frontera.
• Un conjunt és tancat sii conté tots els seus punts d'acumulació.

Propietats dels conjunts tancats

• La intersecció d'un nombre arbitrari de conjunts tancats és tancat.
• La unió d'un nombre finit de conjunts tancats és tancat.
• El conjunt buit i el conjunt total són tancats.

La propietat de la intersecció permet definir l'adherència d'un conjunt A dins un espai X, denotada per $\overline{A}$, com el subconjunt tancat de X més petit i que conté A: aquest conjunt és la intersecció de tots els conjunts tancats que inclouen A.

Altres propietats d'interès són:

• Tot subconjunt tancat d'un conjunt compacte és també compacte.
• La frontera de qualsevol conjunt és tancada.
• L'antiimatge d'un conjunt tancat per una aplicació contínua entre dos espais topològics és tancada.

Exemples de conjunts tancats

• Qualsevol subconjunt finit de punts de la recta real amb la topologia euclidiana.
• L'interval tancat [a,b] dels nombres reals amb la topologia euclidiana és tancat: el seu complementari $(-\mathrm{\infty },a)\cap (b,+\mathrm{\infty })$ és obert.
• El conjunt [0,1] ∩ Q dels nombres racionals entre 0 i 1 (ambdós inclosos) és tancat en l'espai dels nombres racionals amb la topologia euclidiana. En canvi, [0,1] ∩ Q no és tancat en els reals amb la topologia euclidiana.
• Tot conjunt és tancat en un espai amb la topologia discreta.
• L'el·lipse de regió $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}\le 1$ és un conjunt tancat amb la topologia habitual del pla.

Vegeu també

• Conjunt obert