Conjunt dens

Sigui $(X,𝒯)$ un espai topològic; $A\subset X$ és un conjunt dens a $X$ si i només si $\overline{A}=X$, és a dir, la clausura del conjunt és tot l'espai.

Es compleix que les següents proposicions per $A$ són totes equivalents:

1. $A$ és dens a $X$
2. $A\subset B,B$ tancat $\Rightarrow B=X$
3. $\mathrm{\forall }V\in 𝒯,A\cap V=\varnothing \Rightarrow V=\varnothing$

Exemples

• Tot espai topològic és dens en si mateix.
• $\mathbb{Q}$ i $𝕀$ són subconjunts densos de $ℝ$.
• Els polinomis són densos en el conjunt $C[a,b]$ de les funcions contínues definides en $[a,b]$, dotat de la topologia associada a la distància $D_{\mathrm{\infty }}(f,g)=\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-g(x)|$.

Espai separable

Si $(X,𝒯)$ conté un dens numerable es diu que és un espai topològic separable. Exemples d'espais separables són ${ℝ}^n$ i $C([0,1],ℝ)$ (l'espai de les funcions contínues que van de $[0,1]$ a $ℝ$).

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre Plantilla:En
• Plantilla:Citar ref Plantilla:En

Vegeu també

• Espai separable