Mostra la font per a Funció d'una variable complexa diferenciable en sentit real

Aquest article serveix d'introducció a l'article sobre les [[equacions de Cauchy-Riemann]]. S'hi defineix les derivades parcials (respecte a <math>\ x, y</math> o <math>\ z, \bar{z}</math>) i la diferenciabilitat en sentit real de les funcions (de valor complex) d'una variable complexa.


Considerem aquí una funció <math> \ f : U \to \mathbb{{C}}</math> d'una variable complexa, definida en un obert ''U'' de <math>\mathbb{{C}}</math>. Emprem les notacions següents :
* la variable complexa <math>\ z</math> es nota per <math>\ x + i\, y</math>, on ''x'', ''y'' són reals
* les parts real i imaginària de <math>\ f(z) = f(x + i\, y)</math> es noten respectivament per <math>\ P(x, y)</math> i <math>\ Q(x, y)</math>, és a dir : <math>\ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y)</math>, on <math>\ P,\, Q</math> són dues funcions reals de dues variables reals.

== Derivades parcials d'una funció d'una variable complexa ==
=== Derivades parcials respecte a ''x'' i ''y'' ===
'''Definició''' : sigui <math>\ z_0 = x_0 + i\, y_0 \in U</math>, on <math>\ x_0,\, y_0</math> són reals.
* diem que ''f'' té derivada parcial (primera) al punt <math>\ z_0</math> respecte a la variable ''x'', notada per <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)</math> si existeix el límit (finit) <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \lim_{u \to 0,\, u\, \in\, \mathbb{{R}}^*} \frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u} </math>
* diem que ''f'' té derivada parcial (primera) al punt <math>\ z_0</math> respecte a la variable ''y'', notada per <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)</math> si existeix el límit (finit) <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \lim_{v \to 0,\, v\, \in\, \mathbb{{R}}^*} \frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v} </math>


'''Propietat''' :
* la derivada parcial <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)</math> existeix si i només si les derivades parcials <math>\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0)</math>, <math>\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)</math> existeixen, i aleshores <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)</math>
* la derivada parcial <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)</math> existeix si i només si les derivades parcials <math>\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0)</math>, <math>\frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)</math> existeixen, i aleshores <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)</math>

'''Derivades parcials d'ordre superior''' :
* si, per exemple, <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)</math> existeix en tot punt <math>\ z_0 \in U</math>, es defineix la funció <math>\frac{\partial f}{\partial x} : U \to \mathbb{{C}},\, z \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(z)</math>
* si, a més a més, la funció <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> té derivada parcial primera al punt <math>\ z_0</math> respecte a la variable ''x'', la notem per <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0)</math> : <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0)= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)</math>. Semblantment, si existeix <math>\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)</math>, la notem per <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(z_0)</math>, etc.

=== Derivades parcials respecte a <math>\ z</math> i <math>\ \bar{z}</math> ===
'''Definició''' : suposem que ''f'' tingui derivades parcials primeres respecte a ''x'' i ''y'' al punt <math>\ z_0</math>. Aleshores, definim :
* <math>\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)</math>
* <math>\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) + i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)</math>

'''Propietat''' : en conservar les hipòtesis precedents
* <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)</math>
* <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \left(\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) - \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)\right)</math>

== Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexa ==
Es diu que una funció d'una variable complexa és '''diferenciable en sentit real''', o <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en un punt si es pot aproximar localment (a l'entorn d'aquell punt) per la suma d'una constant i d'una funció <math>\mathbb{R}</math>-lineal, anomenada '''[[Diferencial d'una funció|diferencial]]'''.


* '''Definició''' : diem que una aplicació <math>L : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> és <math>\mathbb{R}</math>-lineal si : <math>\forall\, \alpha \in \mathbb{R}, \forall\, \beta \in \mathbb{R}, \forall\, z \in \mathbb{C}, \forall\, w \in \mathbb{C}, L(\alpha\, z + \beta\, w) = \alpha L(z) + \beta L(w)</math>.
**(aleshores : <math>\forall u \in \mathbb{R},\, \forall v \in \mathbb{R},\, L(u + i\, v) = u L(1)+ v L(i)</math>)


* '''Definició''' : diem que la funció <math> \ f : U \to \mathbb{{C}}</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en un punt <math>z_0 \in U</math> si existeixen una aplicació <math>\mathbb{R}</math>-lineal <math>L : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> i una funció <math>\ \epsilon</math> d'una variable complexa tals que <math>\epsilon(h) \to 0</math> quan <math>h \to 0</math> i <math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)</math> (suposant que <math>\ |h | < r</math>, on ''r'' és el radi d'una bola tal que <math>\ B(z_0,\, r) \subset U</math>).
** Quan existeix, l'aplicació ''L'' és única (a conseqüència de la propietat següent); s'anomena <math>\mathbb{R}</math>-diferencial o '''diferencial''' de <math>\ f</math> en <math>\ z_0</math> i es nota habitualment per <math>\ df(z_0)</math>.
** Diem que <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en ''U'' si és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en tot punt de ''U''.


* '''Propietat''' : quan <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en un punt <math>\ z_0 \in U</math>, aleshores
**és contínua en <math>\ z_0</math>
**té derivades parcials primeres en <math>z_0</math>, i
***<math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1) = df(z_0)(1)</math>
***<math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i) = df(z_0)(i)</math>.

demostració :
* continuïtat : <math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h) \to f(z_0)</math> quan <math>h \to 0</math> perquè <math>L(h) \to 0</math> (la <math>\mathbb{R}</math>-diferencial ''L'' és un [[endomorfisme]] d'un [[espai vectorial]] de dimensió finita, per tant és contínua) i <math> h\, \epsilon(h) \to 0</math>.
* existència i expressió de les derivades parcials primeres :
**per a tot ''u'' '''real''' tal que <math>\ |u | < r</math>, <math>f(z_0+u) = f(z_0) + L(u) + u\, \epsilon(u) = f(z_0) + u L(1) + u\, \epsilon(u)</math>; per tant, si <math>u \neq 0</math>, <math>\frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u} = L(1) + \epsilon(u) \to L(1)</math> quan <math>u \to 0</math> : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció <math>\ f</math> en <math>\ z_0</math> respecte a <math>\ x</math>, i la igualtat <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1)</math>
**per a tot ''v'' '''real''' tal que <math>\ |v | < r</math>, <math>f(z_0+i\, v) = f(z_0) + L(i\, v) + i\, v\, \epsilon(i\, v) = f(z_0) + v L(i) + i\, v\, \epsilon(i\, v)</math>; per tant, si <math>v \neq 0</math>, <math>\frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v} = L(i) + i\, \epsilon(i\, v) \to L(i)</math> quan <math>v \to 0</math> : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció <math>\ f</math> en <math>\ z_0</math> respecte a <math>\ y</math>, i la igualtat <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i)</math>.


* '''Teorema''' : una condició suficient (no necessària) de <math>\mathbb{R}</math>-diferenciabilitat en un punt, o en un obert.
**si <math>\ f</math> té derivades parcials primeres respecte a ''x'' i ''y'' (o a <math>\ z</math> i <math>\ \bar{z}</math>) en tot punt d'un entorn de <math>\ z_0 \in U</math>, i si <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> (o <math>\frac{\partial f}{\partial z}</math>, <math>\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}</math>) són '''contínues''' en <math>\ z_0</math>, aleshores <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en <math>\ z_0</math>
**en particular, si <math>\ f</math> té derivades parcials primeres respecte a ''x'' i ''y'' (o a <math>\ z</math> i <math>\ \bar{z}</math>) definides i contínues en tot punt de ''U'', la funció <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en ''U''. En aquest cas, es diu que <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-contínuament diferenciable en ''U'', o de classe <math>\ C^1</math> en ''U''.

{{ORDENA:Funcio D'Una Variable Complexa Diferenciable En Sentit Real}}
[[Categoria:Derivació]]
[[Categoria:Anàlisi complexa]]