Mostra la font per a Funció generatriu de moments

En [[Teoria de la probabilitat]] i [[Estadística]], la '''funció generatriu de moments''' o '''funció generadora de moments''' d'una [[variable aleatòria]] és una funció que conté tota la informació de les propietats probabilístiques de la variable. En comparació amb la [[Funció característica (teoria de la probabilitat)|funció característica]], té l'avantatge que al ser una funció real de variable real es pot treballar amb eines més elementals; però, d'altra banda, atès que hi ha variables que no tenen funció generatriu de moments, els resultats que s'obtenen són menys generals.

A més de caracteritzar la distribució de probabilitat, la funció generatriu de moments té molt bones propietats en relació amb la suma de variables aleatòries independents i amb la convergència en distribució.

== Definició i exemples ==
Sigui <math>X</math> una variable aleatòria. La '''funció generatriu de moments''' ('''f.g.m.''') de <math>X</math> en el punt <math>t\in\mathbb R</math>, que designarem per <math>M(t)</math> o per <math>M_X(t)</math>, es defineix <ref>{{Ref-llibre|cognom=Sanz i Solé|nom=Marta|títol=Probabilitats|data=1999|editorial=Edicions Universitat de Barcelona|lloc=Barcelona|pàgines=118|isbn=84-8338-091-9}}</ref><ref name=":2">{{Ref-llibre|cognom=Degroot|nom=Morris H.|títol=Probabilidad y Estadística|edició=2a. edición|data=1988|editorial=Addison-Wesley Iberoamericana|lloc=Mèxico|pàgines=190-194|isbn=0-201-64405-3}}</ref>per <math display="block">M(t)=E\big[e^{tX}\big],</math>sempre que aquesta esperança sigui finita. Atès que <math>e^{tX}>0</math> , l'esperança anterior sempre es pot calcular, però pot donar infinit. Quan és finita en un entorn de 0 (o en un conjunt més gran que inclogui un entorn de 0), es diu que '''la variable aleatòria té funció generatriu de moments'''.

Si <math>X</math> és discreta, que pren valors <math>x_1,x_2, \dots</math> amb probabilitats <math>p_j=P(X=x_j)</math> , llavors, <math display="block">M(t)=\sum_{j} e^{tx_j} p_j, </math> sempre que la sèrie anterior sigui convergent.

Si <math>X</math> és contínua amb funció de densitat <math>f</math>, llavors, <math display="block">M(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{tx} \, f(x)\, dx, </math>sempre que aquesta integral sigui convergent.

=== Exemples ===
'''Exemple 1.''' Sigui <math>X</math> una variable aleatòria [[Distribució binomial|binomial]] <math>X\sim B(n,p)</math>. Escrivim <math>q=1-p</math>. Llavors <math display="block">M(t)=\sum_{j=0}^n e^{j t} \binom{n}{j}p^jq^{n-j}= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (e^{t} p) ^jq^{n-j} =(pe^t+q)^n,</math>que és finita per a qualsevol <math>t\in\mathbb R</math>. Així, la f.g.m. de <math>X</math> és <math display="block">M(t)=(pe^t+q)^n,\quad t\in \mathbb R.</math>
<br>
'''Exemple 2.''' Sigui <math>X</math> una variable [[Distribució exponencial|exponencial]] amb paràmetre <math>\lambda>0</math> ,amb funció de densitat <math display="block">f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \text{si } x\ge 0 ,\\
 0, & \text{en cas contrari.}
 \end{cases} </math> Aleshores
<math display="block">M(t)=\lambda\int_0^\infty e^{tx} e^{-\lambda x}\, dx= \lambda\int_0^\infty e^{-(\lambda-t)x}\, dx=
\begin{cases}
\dfrac{\lambda}{\lambda-t},& \text{si } t<\lambda \\
\\
+\infty,& \text{en cas contrari.}
\end{cases}</math>Així, <math>M</math> només està definida per <math>t<\lambda</math>; concretament, la f.g.m. és <math display="block">M(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t},\quad t\in (-\infty,\lambda). </math>
<br>
'''Exemple 3.''' Sigui <math>X</math> una variable aleatòria amb [[distribució de Cauchy]] <math>\mathcal C(0,1) </math> amb funció de densitat <math display="block">f(x)=\frac{1}{\pi}\,\frac{1}{x^2+1}, \ \quad x\in \mathbb R. </math>Aleshores, per qualsevol <math>t\ne 0</math>,<math display="block">E[e^{tX}]=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{tx}}{x^2+1}\, dx\ge 
\frac{1}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{e^{tx}}{x^2+1}\, dx \ge 
\frac{t}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{x}{x^2+1}\, dx=\infty. </math>Per tant, <math>X</math> no té f.g.m.

'''Remarca.''' Tal com hem dit a la definició, sempre que es diu que una variable aleatòria té f.g.m. es sobreentén que té f.g.m. en un entorn de zero o un conjunt que contingui un entorn de zero.

== Propietats ==
=== Funció generatriu de moments d'una transformació afí d'una variable aleatòria ===
Sigui <math>X</math> una variable aleatòria amb f.g.m. <math>M_X</math> en un entorn de zero <math>(-t_0,t_0)</math> , amb <math>t_0>0</math> . Aleshores <ref name=":2" /> la variable aleatòria <math display="block">M_Y(t)=a X+b , </math>amb <math>a\ne 0</math>, té f.g.m. <math display="block">M_Y(t)=e^{bt}\, M_X(at),\quad t\in\big(-\tfrac{t_0}{a},\tfrac{t_0}{a}\big). </math>

=== Funció generatriu de moments i moments ===
Aquesta propietat estableix el lligam entre la f.g.m d'una variable aleatòria i els seus moments, i d'aquí ve el nom d'aquesta funció.

Sigui <math>X</math> una variable aleatòria amb f.g.m. <math>M</math> en un entorn de zero <math>(-t_0,t_0)</math> , amb <math>t_0>0</math>. Aleshores <ref>{{Ref-llibre|títol=Measure theory and probability theory|editorial=Springer|data=2006|lloc=New York|isbn=978-0-387-32903-1|nom=Krishna Balasundaram|cognom=Athreya|nom2=Soumendra Nath|cognom2=Lahiri|pàgines=194-196}}</ref>

# La variable <math>X</math> té moments de tots els ordres. Designarem el moment d'ordre <math>n</math> per <math>m_n</math>: <math>m_n=E[X^n]. </math>
# La f.g.m. <math>M</math> és infinitament diferenciable i <math display="block">M^{(n)}(0)=m_n. </math>
# La f.g.m. <math>M</math> es pot desenvolupar en sèrie de MacLaurin: <math display="block">M(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\, m_n,\quad t\in (-t_0,t_0). </math>
# Més generalment,<ref name=":3" /> la f.g.m. <math>M</math> es pot desenvolupar en [[sèrie de Taylor]] en tot punt <math>c\in(-t_0,t_0)</math> <math display="block">M(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(t-c)^n}{n!}\, E[X^ne^{ct}],\quad t\in U_c,</math>on <math>U_c</math> és un entorn de <math>c</math> tal que <math>U_c\subset (-t_0,t_0)</math>. Es diu que <math>M</math> és una [[funció analítica]] (real) en <math>(-t_0,t_0)</math> .

 {{Caixa desplegable|títol=Demostracions|contingut=
Demostració de la propietat 1. Del desenvolupament de la funció exponencial en sèrie de Taylor tenim que<math display="block">e^{\vert t X\vert}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\vert t \vert ^n \, \vert X\vert ^n} {n!} ,</math> i tots els termes de la sèrie són positius. Per tant, <math display="block">\frac{\vert t\vert^n\, \vert X\vert^n}{n!}\le e^{\vert t X\vert}\le e^{t X} + e^{- t X}.</math>Però per a <math>t\in (-t_0,t_0)</math> , <math display="block"> E\big[ e^{t X}\big]<\infty \quad \text{i}\quad E\big[e^{- t X}\big]<\infty. </math>D'on resulta la propietat. Les propietats 2 i 3 es dedueixen de la propietat 4.

Demostració de la propietat 4. Fixem <math>c\in (-t_0,t_0)</math>. Desenvolupem en serie de Taylor la funció <math>e^{tX}</math> en el punt <math>t=c</math>: <math display="block">e^{t X}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(t-c)^n}{n!} \, X ^n e^{cX}.</math>Ara traiem esperances i commutem l'esperança amb la sèrie, amb la qual cosa<math display="block">E\big[e^{t X}\big]=E\Big[\sum_{n=0}^\infty \frac{(t-c)^n}{n!} \, X ^n e^{cX}\Big]\, \underset{(*)}{=} \, 
\sum_{n=0}^\infty \frac{(t-c)^n}{n!} \,E\big[ X ^n e^{cX}\big]. </math>Per demostrar que el pas (*) és correcte, sigui <math>\varepsilon=t_0-\vert c\vert>0</math>, posem <math>U_c=(c-\varepsilon /2,c+\varepsilon /2)\subset (-t_0,t_0) </math> i prenem <math>t\in U_c </math>. Per a qualsevol <math>N\ge 1</math> , Raonant com a la demostració de l'apartat 1, tenim que <math display="block">\Big\vert \sum_{n=0}^N \frac{(t-c)^n}{n!} \, X ^n e^{cX}\Big\vert \le 
 \sum_{n=0}^N \frac{\vert t-c\vert ^n}{n!} \, \big\vert X ^n\big\vert e^{\vert cX\vert} 
 \le e^{\vert cX\vert} \sum_{n=0}^N \frac{\vert t-c\vert ^n}{n!} \, \big\vert X ^n\big\vert 
 \le e^{\vert cX\vert} e^{\vert t-c\vert \,\vert X\vert}= e^{(\vert c\vert +\vert t-c\vert )\, \vert X\vert}
 \le e^{(\vert c\vert +\frac{\varepsilon}{2} )\, \vert X\vert}. </math><math display="block">E\Big[e^{(\vert c\vert +\frac{\varepsilon}{2} )\, \vert X\vert}\Big]<\infty. </math>Llavors, pel [[Convergència de variables aleatòries|teorema de convergència dominada]] s'obté (*).

Cal notar que a l'apartat 3, atès que <math>c=0 </math> , es pot prendre <math>U_c=(-t_0,t_0) </math>.}}


'''Exemple 4.''' Continuant amb l'exemple 2 de més amunt''',''' <math>X</math> una variable [[Distribució exponencial|exponencial]] amb paràmetre <math>\lambda>0</math> '''.''' Havíem calculat que la f.g.m. és <math display="block">M(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t} =\frac{1}{1-\dfrac{t}{\lambda}},\quad t\in (-\infty,\lambda). </math>Per a <math>t\in (-\lambda,\lambda) </math>, tenim que <math>\frac{t}{\lambda}\in (-1,1) </math> , i llavors l'expressió <math>1/(1-t/\lambda) </math> és la suma d'una sèrie geomètrica de raó en [[valor absolut]] menor que 1: <math display="block">M(t)=\frac{1}{1-\dfrac{t}{\lambda}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{\lambda^n},\quad t\in (-\lambda,\lambda)
 </math>En conseqüència, atès que el desenvolupament en sèrie de potències és únic, comparant aquesta fórmula amb la donada a la propietat 3, deduïm que els moments de <math>X</math> són 
<math display="block">m_n=\frac{n!}{\lambda^n}. </math>

=== Funció generatriu i suma de variables independents ===
Siguin <math>X_1,\dots, X_k</math> variables aleatòries independents, amb f.g.m. <math>M_{X_1},\dots,M_{X_k} </math>respectivament. Aleshores <ref name=":2" /> la variable aleatòria <math display="block">S=X_1+\cdots+X_k </math>té f.g.m. <math>M_S</math> que val <math display="block">M_S(t)=M_{X_1}(t)\cdots M_{X_k}(t). </math>

=== La funció generatriu de moments determina la distribució de la variable aleatòria ===
Siguin <math>X</math> i <math>Y</math> dues variables aleatòries amb f.g.m. <math>M_X </math> i <math>M_Y </math> respectivament. Si per algun <math>\varepsilon>0 </math> ,<math display="block">M_X(t)=M_Y(t),\quad \text{per a tot } t\in (-\varepsilon,\varepsilon), </math>aleshores <math>X</math> i <math>Y</math> tenen la mateixa [[distribució de probabilitat]].<ref name=":2" /><ref name=":0" />

Per a la demostració, vegeu l'apartat Extensió al camp complex més avall.

=== Funció generatriu de moments i convergència en distribució ===
Sigui <math>X_1, X_2,\dots, </math> una successió de variables aleatòries amb f.g.m. <math>M_{X_1}, M_{X_2},\dots </math> respectivament, definides en <math>(-\varepsilon,\varepsilon) </math>, per algun <math>\varepsilon>0 </math>. Suposem que per algun <math>\varepsilon ' \in (0,\varepsilon) </math>, <math display="block">\lim_{n\to\infty} M_{X_n}(t)=N(t),\quad \text{per a tot } t\in [-\varepsilon',\varepsilon'], </math>on <math>N </math> és una funció (finita) definida en <math>[-\varepsilon',\varepsilon'] </math>. Aleshores existeix una variable aleatòria <math>X </math> tal que <math display="block">\lim_{n\to \infty} X_n=X,\quad \text{en distribució} </math>que té f.g.m. <math>M_X </math> i <math display="block">M_X(t)=N(t),\quad \text{per a tot } t\in [-\varepsilon',\varepsilon']. </math>Per a la demostració, vegeu Curtiss.<ref name=":0">{{Ref-publicació|article=A Note on the Theory of Moment Generating Functions|url=http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177731541|publicació=The Annals of Mathematical Statistics|data=1942-12|issn=0003-4851|pàgines=430–433|volum=13|exemplar=4|doi=10.1214/aoms/1177731541|llengua=en|nom=J. H.|cognom=Curtiss}}</ref>

Una propietat important de les funcions característiques diu que si una successió de variables aleatòries convergeix en distribució a una variable aleatòria, aleshores les funcions característiques de les variables de la successió convergeixen a la funció característica del límit. Aquesta propietat no és certa en general per a funcions generatrius de moments. Curtiss <ref name=":0" /> dona un contraexemple.

{{Caixa desplegable|títol=En general, la convergència en distribució no implica la convergència de les corresponens funcions generatrius de moments|contingut=
Sigui <math>X_n </math> una variable aleatòria amb funció de densitat <math display="block">f_n(x)=\begin{cases} k_n\, \dfrac{n}{1+n^2x^2}, & \text{si } x\in (-n,n)\\ \\
0,& \text{en cas contrari,} 
\end{cases} </math>on <math>k_n=1/(2\arctan n^2) </math>. Es tracta de la densitat d'una [[distribució de Cauchy]] centrada amb paràmetre d'escala <math>\gamma=1/n </math>, <math>\mathcal C(0,1/n) </math>, truncada entre <math>-n </math> i <math>-n </math> , i normalitzada per tal que la seva integral sobre tot <math>\mathbb R </math> sigui 1. Nadarajah<ref>{{Ref-publicació|article=Making the Cauchy work|url=https://www.jstor.org/stable/43601172|publicació=Brazilian Journal of Probability and Statistics|data=2011|issn=0103-0752|pàgines=99–120|volum=25|exemplar=1|nom=Saralees|cognom=Nadarajah}}</ref> l'anomena distribució de Cauchy truncada.

La funció de distribució de <math>X_n </math> és 
[[Fitxer:CauchyTruncada.svg|miniatura|Figura 1. Funció de distribució <math>F_n</math> per a <math>n=5</math>. ]]
<math display="block">F_n(x)=\begin{cases}
0,& \text{si } x<-n \\
\frac{1}{2}+k_n \arctan(nx), & \text{si } -n\le x\le n, \\
1,& \text{si } x\ge n.
\end{cases} </math>És clar que <math display="block">\lim_{n\to\infty} F_n(x)=\begin{cases} 0,& \text{si } x<0,\\
1,& \text{si } x>0.
\end{cases}</math>Per tant, <math display="block">\lim_{n\to\infty} X_n=0,\quad\text{en distribució}. </math>D'altra banda, la funció generatriu de moments de <math>X_n</math>, que existeix per a tot <math>t\in \mathbb R</math> ja que <math>X_n</math> és afitada, compleix <math display="block">\begin{align}M_{X_n}(t)&= k_n \int_{-n}^n e^{tx}\, \frac{n}{1+n^2x^2}\, dx = 
k_n \int_{-n}^0 e^{tx}\, \frac{n}{1+n^2x^2}\, dx+k_n \int_{0}^n e^{tx}\, \frac{n}{1+n^2x^2}\, dx \\
& \ge k_n \int_{0}^n e^{\vert t \vert x}\, \frac{n}{1+n^2x^2}\, dx 
\ge k_n \int_{0}^n \frac{\vert t \vert^3 x^3}{3!}\, \frac{n}{1+n^2x^2} \, dx.
\end{align}</math>Es comprova, calculant la integral de la dreta, que per qualsevol <math>t\ne 0</math>, <math display="block">\lim_{n\to \infty} M_{X_n}(t)=\infty. </math>Però la funció generatriu del límit de la successió és <math display="block">M_X(t)=1,\ \text{per a tot } t\in \mathbb R. </math>}}

=== Domini de la funció generatriu de moments ===
Sigui <math>X</math> una variable aleatòria amb f.g.m. <math>M</math> . S'anomena domini de la f.g.m.,<ref name=":3" /> i es designa per <math>D_M </math>, al conjunt <math display="block">D_M=\{t\in \mathbb R: \, E\big[e^{tX}\big]<\infty\}. </math>El conjunt <math>D_M </math> és un interval, finit o infinit, que conté el 0.

En efecte, en primer lloc, com que per <math>t=0</math>, <math>E[e^{tX}]=E[1]=1</math>, tenim que <math>0\in D_M </math>. Ara, si <math>s,t\in D_M </math>, i prenem <math>\lambda\in (0,1) </math> , per la [[desigualtat de Hölder]] amb <math>p=1/\lambda </math> i <math>q=1/(1-\lambda) </math> tenim que <math display="block">E\Big[e^{\big(\lambda s+(1-\lambda) t\big)X}\Big] = 
E\Big[e^{\lambda s X}\, e^{(1-\lambda) t X}\Big] \le 
\Big(E\big[e^{ s X}\big]\Big)^{\lambda}\, \Big(E\big[e^{ t X}\big]\Big)^{1-\lambda} <\infty. </math>Per tant, <math>\lambda s+(1-\lambda t)\in D_M </math> . D'on es dedueix que <math>D_M </math> ha de ser un interval.

== Extensió al camp complex. La transformada de Laplace ==
Recordem que una variable aleatòria a valors complexos és una expressió de la forma<math display="block">Y=Y_1 +i\, Y_2, </math>on <math>Y_1</math> i <math>Y_2</math> són variables aleatòries ordinàries. Si ambdues <math>Y_1</math> i <math>Y_2</math> tenen esperança, aleshores es defineix l'esperança de <math>Y</math> per <math display="block">E[Y]=E[Y_1]+i\, E[Y_2]. </math>Designem per <math>\vert y\vert =\sqrt{y_1^2+y_2^2}</math> el mòdul d'un nombre complex <math>y=y_1+ i\, y_2 </math>, llavors, la condició per tal que <math>Y</math> tingui esperança és <math>E[\vert Y\vert]<\infty, </math> ja que <math display="block">\max(\vert Y_1\vert,\vert Y_2\vert)\le \vert Y\vert\le \vert Y_1\vert+\vert Y_2\vert.</math>

Sigui <math>X</math> una variable aleatòria. S'anomena '''transformada de Laplace''' <ref name=":3">{{Ref-llibre|títol=Probability with a view toward statistics. 1|editorial=CRC Press|data=2003|lloc=Boca Raton|isbn=978-0-412-05221-7|nom=Jørgen|cognom=Hoffmann Jørgensen|pàgines=283-284}}</ref><ref name=":0" /> de<math>X</math> en el punt <math>z\in \mathbb C</math> a <math display="block">L(z)= E[e^{zX}],</math>sempre que aquesta esperança existeixi, és a dir,<math display="block">E\Big[\big\vert e^{zX}\big\vert \Big]<\infty. </math>Cal notar que si <math>X</math> té funció de densitat <math>f</math>, aleshores <math display="block">L(z)=\int_{-\infty}^\infty e^{zx}\, f(x)\, dx,</math>que és la transformada de Laplace bilateral ordinària de la funció<math>f</math> , a part del signe de l'exponent, que en probabilitats es pren positiu per coherència amb les altres notacions. En el cas general, si <math>X</math> té funció de distribució <math>F</math> , llavors <math display="block">L(z)=\int_{-\infty}^\infty e^{zx}\, d F(x),</math>on la integral de la dreta és una integral de Lebesgue-Stieltjes, i que és la transformada de Laplace bilateral clàssica (excepte el signe de l'exponent); per les propietats de la transformada de Laplace en aquest context general veieu el clàssic llibre de Widder.<ref>{{Ref-llibre|cognom=Widder|nom=D. V.|títol=The Laplace Transform|data=1946|editorial=Princeton University Press|lloc=London}}</ref>

'''Exemple 5.''' Continuem amb la distribució exponencial de paràmetre <math>\lambda</math> de l'exemple 2. Llavors <math display="block">E\big[e^{zX}\big]=\lambda \int_0^\infty e^{zx}e^{-\lambda x}\, dx,</math>i la integral de la dreta és la [[transformada de Laplace]] clàssica de la funció <math>e^{-\lambda x}</math> en el punt <math>-z</math>. [[Llavor]] s'obté (veieu <ref>{{Ref-llibre|edició=2. ed., 9. pr|títol=Basic complex analysis|editorial=Freeman|data=1997|lloc=New York|isbn=978-0-7167-1814-7|nom=Jerrold E.|cognom=Marsden|nom2=Michael J.|cognom2=Hoffman|pàgines=527}}</ref> per al càlcul d'aquesta transformada de Laplace) <math display="block">L(z)=\frac{\lambda}{\lambda-z},\ \quad \text{per a } z\in \mathbb C\ \text{tal que } \text{Re}(z)>\lambda,
</math>on <math>\text{Re}(z)</math> és la part real del nombre complex <math>z</math>.

'''Domini de la transformada de Laplace''' 

[[Fitxer:FranjaComplexa.svg|miniatura|Figura 2. Franja del pla complex <math>a<\text{Re}(z)<b</math> (en verd).]]

Sigui <math>y=y_1+i\,y_2\in \mathbb C</math>. Llavors, <math display="block">\vert e^{y}\vert=\vert e^{y_1}\vert \, \vert e^{iy_2}\vert=e^{y_1},</math>on hem utilitzat la [[fórmula d'Euler]], <math display="block">e^{it}=\cos t +i\, \sin t,\quad t\in \mathbb R,</math>per deduir que el número complex <math>e^{it}</math> està sobre la circumferència unitat i, per tant, té mòdul 1.

Retornant a la transformada de Laplace, tenim que <math display="block">E\big[e^{zX}\big]<\infty \quad\Longleftrightarrow\quad E\big[e^{\text{Re}(z) X}\big]<\infty. </math>Llavors, si designem per <math>D_L</math> el domini de la transformada de Laplace: <math display="block">D_L=\big\{z\in \mathbb C:\ E\big[\vert e^{zX}\vert \big] < \infty\big\}, </math>tindrem que <math display="block">z\in D_L\quad \Longleftrightarrow \quad \text{Re}(z)\in D_M. </math>

Llavors, si, per exemple, <math>D_M=(a,b)</math> amb <math>a<0<b</math>, <math>D_L</math> serà la franja del pla complex formada per <math>z\in \mathbb C</math> tals que <math>a<\text{Re}(z)< b</math>, la qual inclourà l'eix imaginari <math>\{i \, y, \quad y\in \mathbb R \} </math>, vegeu la Figura 2.

'''Relacions entre la funció generatriu de moments, la transformada de Laplace i la funció característica.''' 

Sigui <math>X</math> una variable aleatòria amb funció generatriu de moments <math>M</math> en <math>(-\varepsilon,\varepsilon)</math> per a <math>\varepsilon>0</math>. Tal com hem comentat, la transformada de Laplace <math>L</math> existirà en la franja <math>\{z\in \mathbb C: \ \text{Re}(z)\in (-\varepsilon,\varepsilon)\}</math> i, òbviament, <math display="block">M(t)=L(t),\quad \text{per a tot } t\in (\varepsilon,\varepsilon).</math>D'altra banda, si designem per <math>\varphi</math> la [[Funció característica (teoria de la probabilitat)|funció característica]] de <math>X</math> , <math display="block">\varphi(t)=E[e^{itX}],\quad t\in \mathbb R, </math>atès que <math>it\in D_L </math>, tindrem que <math display="block">\varphi(t)=L(it),\quad \text{per a tot } t\in \mathbb R.</math>

{{Caixa desplegable|títol=Demostració de la propietat que la funció generatriu de moments determina la distribució de la variable aleatòria|contingut=
Aquesta demostració és de Curtiss <ref name=":0" /> i utilitza el fet que les funcions característiques determinen la llei d'una variable aleatòria. Siguin <math>X</math> i <math>Y</math> dues variables aleatòries amb f.g.m. <math>M_X </math> i <math>M_Y </math>, transformades de Laplace <math>L_X </math> i <math>L_Y </math> i funcions característiques <math>\varphi_X </math> i <math>\varphi_Y </math> respectivament. Suposem que per a algun <math>\varepsilon>0</math>,<math display="block">M_X(t)=M_Y(t),\quad \text{per a tot } t\in (-\varepsilon,\varepsilon). </math>Aleshores, les transformades de Laplace compliran 

<math display="block">L_X(t)=L_Y(t),\quad \text{per a tot } t\in (-\varepsilon,\varepsilon), </math>
i llavors,<ref>{{Ref-llibre|títol=Functions of a complex variable: theory and technique|editorial=SIAM|data=2005|lloc=Philadelphia (Pa.)|isbn=978-0-89871-595-8|nom=George F.|cognom=Carrier|nom2=Max|cognom2=Krook|nom3=Carl E.|cognom3=Pearson|pàgines=65}}</ref> coincidiran en tot el seu domini d'analicitat:
<math display="block">L_X(z)=L_Y(z),\quad \text{per a tot } z \ \text{tal que } \text{Re} (z)\in (-\varepsilon,\varepsilon). </math>Per tant, les funcions característiques compliran <math display="block">\varphi_X(t)=\varphi_Y(t),\quad \text{per a tot } t\in \mathbb R . </math>D'on les distribucions de <math>X</math> i <math>Y</math> són iguals.}}

== Cas vectorial ==
Tots els resultats anteriors s'estenen al cas vectorial de la següent manera. Sigui <math> \boldsymbol X=(X_1,\dots, X_d)</math> un [[vector aleatori]]. La funció <math display="block">M_{\boldsymbol X}(t_1,\dots, t_d)=E\big[e^{t_1 X_1+\cdots + t_d X_d}\big], </math> definida en aquells punts<math>(t_1,\dots, t_d)\in \mathbb R^d</math> on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena '''funció generatriu de moments''' <ref name=":5" /> de <math>\boldsymbol X </math>. Quan està definida en un entorn de <math>(0,\dots,0)</math>, es diu que el vector aleatori té funció generatriu de moments.

Remarcarem les tres propietats següents que són especialment útils: 

'''Unicitat'''.<ref name=":1">{{Ref-llibre|edició=2a edició|títol=Linear regression analysis|editorial=J. Wiley|data=2003|lloc=Hoboken (N.J.)|isbn=978-0-471-41540-4|nom=George A. F.|cognom=Seber|nom2=Alan J.|cognom2=Lee|pàgines=13-14}}</ref> Si la funció generatriu de moments d'un vector aleatori està definida en un entorn de <math>(0,\dots,0)</math>, aleshores determina unívocament la distribució d'aquest vector.

'''Independència'''.<ref name=":1" /> Siguin <math> \boldsymbol X=(X_1,\dots, X_d)</math> i <math> \boldsymbol Y=(Y_1,\dots,Y_r)</math> dos vectors aleatoris tal que el vector <math>(\boldsymbol X,\boldsymbol Y) </math> té funció generatriu de moments definida en un entorn de zero. Aleshores <math>\boldsymbol X\ \text{i}\ \boldsymbol Y </math> són independents si i només si

<math display="block">M_{(\boldsymbol{X,Y})}(s_1,\dots,s_d,t_1,\dots,t_r)=M_{\boldsymbol X}(s_1,\dots,s_d)\,M_{\boldsymbol Y}(t_1,\dots,t_r).</math>'''Moments'''.<ref name=":5">{{Ref-llibre|títol=Measure theory and probability theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/209923234|editorial=Springer|data=2006|lloc=Nova York|isbn=0-387-32903-X|nom=Krishna B.|cognom=Athreya|pàgines=198-199}}</ref> Si un vector aleatori <math> \boldsymbol X=(X_1,\dots, X_d)</math> té funció generatriu de moments en un entorn de <math>(0,\dots,0)</math>, aleshores té moments de tots els ordres i <math display="block"> E(X_1^{n_1}\cdots X_d^{n_d})=
\frac{\partial^{n_1+\cdots + n_d}}{\partial t_1^{n_1}\cdots \partial t_d^{n_d} }
\,M_{\boldsymbol X}(t_1\dots, t_d)
\Big\vert_{t_1=0,\dots, t_d=0}.</math>

Vegeu uns exemples a la secció següent.

== Funció generatriu de moments i funcions característiques d'algunes distribucions importants ==
:{| class="wikitable"
|-
! Distribució
! Funció generatriu de moments <math>M(t)</math>
! Funció característica <math>\varphi (t)</math>
|-
| Degenerada <math>X=a</math>
|<math>e^{ta}</math>
|<math>e^{ita}</math>
|-
| [[Distribució de Bernoulli|Bernoulli]] <math>P(X = 1) = p</math>
| <math>1 - p + pe^t</math>
| <math>1 - p + pe^{it}</math>
|-
| [[Distribució geomètrica|Geomètrica]] (Vegeu nota (1)) 
| <math>\frac{p e^t}{1 - (1 - p) e^t}, ~ t < -\ln(1 - p)</math>
| <math>\frac{p e^{it}}{1 - (1 - p)\,e^{it}}</math>
|-
| [[Distribució binomial|Binomial]] <math>B(n, p)</math>
| <math>\left(1 - p + pe^t\right)^n</math>
| <math>\left(1 - p + pe^{it}\right)^n</math>
|-
|[[Distribució binomial negativa|Binomial negativa]] <math>\operatorname{NB}(r, p)</math>
|<math>\left(\frac{p}{1 - e^t + pe^t}\right)^r, ~ t<-\ln(1-p)</math>
|<math>\left(\frac{p}{1 - e^{it} + pe^{it}}\right)^r</math>
|-
| [[Distribució de Poisson|Poisson]] <math>\operatorname{Pois}(\lambda)</math>
| <math>e^{\lambda(e^t - 1)}</math>
| <math>e^{\lambda(e^{it} - 1)}</math>
|- 
| [[Distribució uniforme contínua|Uniforme (contínua)]] <math>\operatorname U(a, b)</math>
| <math>\frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b - a)}</math>
| <math>\frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b - a)}</math>
|- 
| [[Distribució uniforme discreta|Uniforme discreta]] <math>\operatorname{U}(\{a,a+1,\dots,b\})</math>, <math>a,\, b\in \mathbb Z, \quad a<b.</math>
| <math>\frac{e^{at} - e^{(b + 1)t}}{(b - a + 1)(1 - e^{t})}</math>
| <math>\frac{e^{ait} - e^{(b + 1)it}}{(b - a + 1)(1 - e^{it})}</math>
|-
|[[Distribució de Laplace|Laplace]] <math>L(\mu, b)</math>
|<math>\frac{e^{t\mu}}{1 - b^2t^2}, ~ |t| < 1/b</math>
|<math>\frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}</math>
|-
| [[Distribució normal|Normal]] <math>N(\mu, \sigma^2)</math>
| <math>e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
| <math>e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
|-
| [[Distribució khi quadrat|Khi quadrat]] <math>\chi^2_k</math>
| <math>(1 - 2t)^{-\frac{k}{2}}, ~ t < 1/2</math>
| <math>(1 - 2it)^{-\frac{k}{2}}</math>
|-
|[[Distribució khi quadrat no central|Khi quadrat no central]] <math>\chi^2_k(\lambda)</math>
| <math>e^{\lambda t/(1-2t)}(1 - 2t)^{-\frac{k}{2}}</math>
| <math>e^{i\lambda t/(1-2it)}(1 - 2it)^{-\frac{k}{2}}</math>
|-
| [[Distribució gamma|Gamma]] <math>\Gamma(k, \theta)</math>
|<math>(1 - t\theta)^{-k}, ~ t < \tfrac{1}{\theta}</math>
| <math>(1 - it\theta)^{-k}</math>
|-
| [[Distribució exponencial|Exponential]] <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math>
| <math>\left(1 - t\lambda^{-1}\right)^{-1}, ~ t < \lambda</math>
| <math>\left(1 - it\lambda^{-1}\right)^{-1}</math>
|-
|[[Distribució beta|Beta]]
|<math>1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>
|<math>{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\! </math> (vegeu [[Sèrie hipergeomètrica]])
|-
| [[Distribució de Cauchy|Cauchy]] <math>\mathcal C (\mu, \gamma)</math>
|No existeix
| <math>e^{it\mu - \gamma|t|}</math>
|-
| [[Distribució normal multivariable|Normal multivariable]] <math>N(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})</math>
(Vegeu nota (2)) 
|<math>e^{\mathbf{t}' \left(\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2} \mathbf{\Sigma t}\right)}</math>
|<math>e^{\mathbf{t}' \left(i \boldsymbol{\mu} - \frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t}\right)}</math>
|-
|[[Distribució multinomial|Multinomial]] <math>\mathcal M(n;p_1,\dots,p_d)</math>
|<math>\big(p_1e^{t_1}+\cdots p_de^{t_d}\big)^n</math>
|<math>\big(p_1e^{it_1}+\cdots p_de^{it_d}\big)^n </math>
|-
|[[Distribució de Cauchy multivariant|Cauchy multivariant]] (Vegeu nota (2)) 
<math>\mathcal C( \mathbf\mu, \mathbf\Sigma)</math>
|No existeix
|<math>\!\, e^{i\mathbf{t}'\boldsymbol\mu - \sqrt{\mathbf{t}'\boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t}}}</math>
|}

'''Notes'''
:(1) Distribució geomètrica relativa al número de proves fins al primer èxit, inclòs aquest, amb probabilitat d'èxit <math>p</math>.

:(2) El vectors estan escrits en columna i <math> \boldsymbol t'</math> designa el transposat del vector <math> \boldsymbol t</math>




== Referències ==
{{Referències}}

[[Categoria:Probabilitat]]