Funció generatriu de moments

En Teoria de la probabilitat i Estadística, la funció generatriu de moments o funció generadora de moments d'una variable aleatòria és una funció que conté tota la informació de les propietats probabilístiques de la variable. En comparació amb la funció característica, té l'avantatge que al ser una funció real de variable real es pot treballar amb eines més elementals; però, d'altra banda, atès que hi ha variables que no tenen funció generatriu de moments, els resultats que s'obtenen són menys generals.

A més de caracteritzar la distribució de probabilitat, la funció generatriu de moments té molt bones propietats en relació amb la suma de variables aleatòries independents i amb la convergència en distribució.

Definició i exemples

Sigui $X$ una variable aleatòria. La funció generatriu de moments (f.g.m.) de $X$ en el punt $t\in ℝ$, que designarem per $M(t)$ o per $M_X(t)$, es defineix per $$M(t)=E\left[e^{tX}\right],$$sempre que aquesta esperança sigui finita. Atès que $e^{tX}>0$ , l'esperança anterior sempre es pot calcular, però pot donar infinit. Quan és finita en un entorn de 0 (o en un conjunt més gran que inclogui un entorn de 0), es diu que la variable aleatòria té funció generatriu de moments.

Si $X$ és discreta, que pren valors $x_1,x_2,\dots$ amb probabilitats $p_j=P(X=x_j)$ , llavors, $$M(t)=\sum _j{e}^{t{x}_j}{p}_j,$$ sempre que la sèrie anterior sigui convergent.

Si $X$ és contínua amb funció de densitat $f$, llavors, $$M(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)dx,$$sempre que aquesta integral sigui convergent.

Exemples

Exemple 1. Sigui $X$ una variable aleatòria binomial $X\sim B(n,p)$. Escrivim $q=1-p$. Llavors $$M(t)=\sum _{j=0}^n{e}^{jt}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})p^j{q}^{n-j}=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(e^{t}p{)}^j{q}^{n-j}=(p{e}^t+q{)}^n,$$que és finita per a qualsevol $t\in ℝ$. Així, la f.g.m. de $X$ és $$M(t)=(p{e}^t+q{)}^n,t\in ℝ.$$
Exemple 2. Sigui $X$ una variable exponencial amb paràmetre $\lambda >0$ ,amb funció de densitat $$f(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x},& \text{si }x\ge 0,\\ 0,& \text{en cas contrari.}\end{array}$$ Aleshores $$M(t)=\lambda \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}{e}^{-\lambda x}dx=\lambda \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(\lambda -t)x}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{\lambda }{\lambda -t},& \text{si }t<\lambda \\ \\ +\mathrm{\infty },& \text{en cas contrari.}\end{array}$$Així, $M$ només està definida per $t<\lambda$; concretament, la f.g.m. és $$M(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t},t\in (-\mathrm{\infty },\lambda ).$$
Exemple 3. Sigui $X$ una variable aleatòria amb distribució de Cauchy $𝒞(0,1)$ amb funció de densitat $$f(x)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{x^2+1},x\in ℝ.$$Aleshores, per qualsevol $t\ne 0$,$$E[e^{tX}]=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{tx}}{x^2+1}dx\ge \frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{tx}}{x^2+1}dx\ge \frac{t}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{x^2+1}dx=\mathrm{\infty }.$$Per tant, $X$ no té f.g.m.

Remarca. Tal com hem dit a la definició, sempre que es diu que una variable aleatòria té f.g.m. es sobreentén que té f.g.m. en un entorn de zero o un conjunt que contingui un entorn de zero.

Propietats

Funció generatriu de moments d'una transformació afí d'una variable aleatòria

Sigui $X$ una variable aleatòria amb f.g.m. $M_X$ en un entorn de zero $(-t_0,t_0)$ , amb $t_0>0$ . Aleshores la variable aleatòria $$M_Y(t)=aX+b,$$amb $a\ne 0$, té f.g.m. $$M_Y(t)=e^{bt}{M}_X(at),t\in (-\frac{t_0}{a},\frac{t_0}{a}).$$

Funció generatriu de moments i moments

Aquesta propietat estableix el lligam entre la f.g.m d'una variable aleatòria i els seus moments, i d'aquí ve el nom d'aquesta funció.

Sigui $X$ una variable aleatòria amb f.g.m. $M$ en un entorn de zero $(-t_0,t_0)$ , amb $t_0>0$. Aleshores

1. La variable $X$ té moments de tots els ordres. Designarem el moment d'ordre $n$ per $m_n$: $m_n=E[X^n].$
2. La f.g.m. $M$ és infinitament diferenciable i $$M^{(n)}(0)=m_n.$$
3. La f.g.m. $M$ es pot desenvolupar en sèrie de MacLaurin: $$M(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}{m}_n,t\in (-t_0,t_0).$$
4. Més generalment, la f.g.m. $M$ es pot desenvolupar en sèrie de Taylor en tot punt $c\in (-t_0,t_0)$ $$M(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(t-c{)}^n}{n!}E[X^n{e}^{ct}],t\in U_c,$$on $U_c$ és un entorn de $c$ tal que $U_c\subset (-t_0,t_0)$. Es diu que $M$ és una funció analítica (real) en $(-t_0,t_0)$ .

Plantilla:Caixa desplegable

Exemple 4. Continuant amb l'exemple 2 de més amunt, $X$ una variable exponencial amb paràmetre $\lambda >0$ . Havíem calculat que la f.g.m. és $$M(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t}=\frac{1}{1-\frac{t}{\lambda }},t\in (-\mathrm{\infty },\lambda ).$$Per a $t\in (-\lambda ,\lambda )$, tenim que $\frac{t}{\lambda }\in (-1,1)$ , i llavors l'expressió $1/(1-t/\lambda )$ és la suma d'una sèrie geomètrica de raó en valor absolut menor que 1: $$M(t)=\frac{1}{1-\frac{t}{\lambda }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{{\lambda }^n},t\in (-\lambda ,\lambda )$$En conseqüència, atès que el desenvolupament en sèrie de potències és únic, comparant aquesta fórmula amb la donada a la propietat 3, deduïm que els moments de $X$ són $$m_n=\frac{n!}{{\lambda }^n}.$$

Funció generatriu i suma de variables independents

Siguin $X_1,\dots ,X_k$ variables aleatòries independents, amb f.g.m. $M_{X_1},\dots ,M_{X_k}$respectivament. Aleshores la variable aleatòria $$S=X_1+\cdots +X_k$$té f.g.m. $M_S$ que val $$M_S(t)=M_{X_1}(t)\cdots M_{X_k}(t).$$

La funció generatriu de moments determina la distribució de la variable aleatòria

Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries amb f.g.m. $M_X$ i $M_Y$ respectivament. Si per algun $\epsilon >0$ ,$$M_X(t)=M_Y(t),\text{per a tot }t\in (-\epsilon ,\epsilon ),$$aleshores $X$ i $Y$ tenen la mateixa distribució de probabilitat.

Per a la demostració, vegeu l'apartat Extensió al camp complex més avall.

Funció generatriu de moments i convergència en distribució

Sigui $X_1,X_2,\dots ,$ una successió de variables aleatòries amb f.g.m. $M_{X_1},M_{X_2},\dots$ respectivament, definides en $(-\epsilon ,\epsilon )$, per algun $\epsilon >0$. Suposem que per algun ${\epsilon }^{\prime }\in (0,\epsilon )$, $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_{X_n}(t)=N(t),\text{per a tot }t\in [-{\epsilon }^{\prime },{\epsilon }^{\prime }],$$on $N$ és una funció (finita) definida en $[-{\epsilon }^{\prime },{\epsilon }^{\prime }]$. Aleshores existeix una variable aleatòria $X$ tal que $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n=X,\text{en distribució}$$que té f.g.m. $M_X$ i $$M_X(t)=N(t),\text{per a tot }t\in [-{\epsilon }^{\prime },{\epsilon }^{\prime }].$$Per a la demostració, vegeu Curtiss.

Una propietat important de les funcions característiques diu que si una successió de variables aleatòries convergeix en distribució a una variable aleatòria, aleshores les funcions característiques de les variables de la successió convergeixen a la funció característica del límit. Aquesta propietat no és certa en general per a funcions generatrius de moments. Curtiss dona un contraexemple.

Domini de la funció generatriu de moments

Sigui $X$ una variable aleatòria amb f.g.m. $M$ . S'anomena domini de la f.g.m., i es designa per $D_M$, al conjunt $$D_M=\{t\in ℝ:E[e^{tX}]<\mathrm{\infty }\}.$$El conjunt $D_M$ és un interval, finit o infinit, que conté el 0.

En efecte, en primer lloc, com que per $t=0$, $E[e^{tX}]=E[1]=1$, tenim que $0\in D_M$. Ara, si $s,t\in D_M$, i prenem $\lambda \in (0,1)$ , per la desigualtat de Hölder amb $p=1/\lambda$ i $q=1/(1-\lambda )$ tenim que $$E\left[e^{(\lambda s+(1-\lambda )t)X}\right]=E\left[e^{\lambda sX}{e}^{(1-\lambda )tX}\right]\le \left(E\right[e^{sX}\left]{)}^{\lambda }\right(E\left[e^{tX}\right]{)}^{1-\lambda }<\mathrm{\infty }.$$Per tant, $\lambda s+(1-\lambda t)\in D_M$ . D'on es dedueix que $D_M$ ha de ser un interval.

Extensió al camp complex. La transformada de Laplace

Recordem que una variable aleatòria a valors complexos és una expressió de la forma$$Y=Y_1+i{Y}_2,$$on $Y_1$ i $Y_2$ són variables aleatòries ordinàries. Si ambdues $Y_1$ i $Y_2$ tenen esperança, aleshores es defineix l'esperança de $Y$ per $$E[Y]=E[Y_1]+iE[Y_2].$$Designem per $|y|=\sqrt{y_1^2+y_2^2}$ el mòdul d'un nombre complex $y=y_1+i{y}_2$, llavors, la condició per tal que $Y$ tingui esperança és $E[|Y|]<\mathrm{\infty },$ ja que $$\max (|Y_1|,|Y_2|)\le |Y|\le |Y_1|+|Y_2|.$$

Sigui $X$ una variable aleatòria. S'anomena transformada de Laplace de$X$ en el punt $z\in ℂ$ a $$L(z)=E[e^{zX}],$$sempre que aquesta esperança existeixi, és a dir,$$E\left[\right|e^{zX}\left|\right]<\mathrm{\infty }.$$Cal notar que si $X$ té funció de densitat $f$, aleshores $$L(z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{zx}f(x)dx,$$que és la transformada de Laplace bilateral ordinària de la funció$f$ , a part del signe de l'exponent, que en probabilitats es pren positiu per coherència amb les altres notacions. En el cas general, si $X$ té funció de distribució $F$ , llavors $$L(z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{zx}dF(x),$$on la integral de la dreta és una integral de Lebesgue-Stieltjes, i que és la transformada de Laplace bilateral clàssica (excepte el signe de l'exponent); per les propietats de la transformada de Laplace en aquest context general veieu el clàssic llibre de Widder.

Exemple 5. Continuem amb la distribució exponencial de paràmetre $\lambda$ de l'exemple 2. Llavors $$E\left[e^{zX}\right]=\lambda \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{zx}{e}^{-\lambda x}dx,$$i la integral de la dreta és la transformada de Laplace clàssica de la funció $e^{-\lambda x}$ en el punt $-z$. Llavor s'obté (veieu per al càlcul d'aquesta transformada de Laplace) $$L(z)=\frac{\lambda }{\lambda -z},\text{per a }z\in ℂ\text{tal que }\text{Re}(z)>\lambda ,$$on $\text{Re}(z)$ és la part real del nombre complex $z$.

Domini de la transformada de Laplace

Figura 2. Franja del pla complex $a<\text{Re}(z)<b$ (en verd).

Sigui $y=y_1+i{y}_2\in ℂ$. Llavors, $$|e^y|=|e^{y_1}||e^{i{y}_2}|=e^{y_1},$$on hem utilitzat la fórmula d'Euler, $$e^{it}=\cos t+i\sin t,t\in ℝ,$$per deduir que el número complex $e^{it}$ està sobre la circumferència unitat i, per tant, té mòdul 1.

Retornant a la transformada de Laplace, tenim que $$E\left[e^{zX}\right]<\mathrm{\infty }⟺E\left[e^{\text{Re}(z)X}\right]<\mathrm{\infty }.$$Llavors, si designem per $D_L$ el domini de la transformada de Laplace: $$D_L=\{z\in ℂ:E[|e^{zX}|]<\mathrm{\infty }\},$$tindrem que $$z\in D_L⟺\text{Re}(z)\in D_M.$$

Llavors, si, per exemple, $D_M=(a,b)$ amb $a<0<b$, $D_L$ serà la franja del pla complex formada per $z\in ℂ$ tals que $a<\text{Re}(z)<b$, la qual inclourà l'eix imaginari $\{iy,y\in ℝ\}$, vegeu la Figura 2.

Relacions entre la funció generatriu de moments, la transformada de Laplace i la funció característica.

Sigui $X$ una variable aleatòria amb funció generatriu de moments $M$ en $(-\epsilon ,\epsilon )$ per a $\epsilon >0$. Tal com hem comentat, la transformada de Laplace $L$ existirà en la franja $\{z\in ℂ:\text{Re}(z)\in (-\epsilon ,\epsilon )\}$ i, òbviament, $$M(t)=L(t),\text{per a tot }t\in (\epsilon ,\epsilon ).$$D'altra banda, si designem per $\phi$ la funció característica de $X$ , $$\phi (t)=E[e^{itX}],t\in ℝ,$$atès que $it\in D_L$, tindrem que $$\phi (t)=L(it),\text{per a tot }t\in ℝ.$$

Cas vectorial

Tots els resultats anteriors s'estenen al cas vectorial de la següent manera. Sigui $𝑿=(X_1,\dots ,X_d)$ un vector aleatori. La funció $$M_{𝑿}(t_1,\dots ,t_d)=E\left[e^{t_1{X}_1+\cdots +t_d{X}_d}\right],$$ definida en aquells punts$(t_1,\dots ,t_d)\in {ℝ}^d$ on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena funció generatriu de moments de $𝑿$. Quan està definida en un entorn de $(0,\dots ,0)$, es diu que el vector aleatori té funció generatriu de moments.

Remarcarem les tres propietats següents que són especialment útils:

Unicitat. Si la funció generatriu de moments d'un vector aleatori està definida en un entorn de $(0,\dots ,0)$, aleshores determina unívocament la distribució d'aquest vector.

Independència. Siguin $𝑿=(X_1,\dots ,X_d)$ i $𝒀=(Y_1,\dots ,Y_r)$ dos vectors aleatoris tal que el vector $(𝑿,𝒀)$ té funció generatriu de moments definida en un entorn de zero. Aleshores $𝑿\text{i}𝒀$ són independents si i només si

$$M_{(𝑿,𝒀)}(s_1,\dots ,s_d,t_1,\dots ,t_r)=M_{𝑿}(s_1,\dots ,s_d)M_{𝒀}(t_1,\dots ,t_r).$$Moments. Si un vector aleatori $𝑿=(X_1,\dots ,X_d)$ té funció generatriu de moments en un entorn de $(0,\dots ,0)$, aleshores té moments de tots els ordres i $$E(X_1^{n_1}\cdots X_d^{n_d})=\frac{{\partial }^{n_1+\cdots +n_d}}{\partial t_1^{n_1}\cdots \partial t_d^{n_d}}{M}_{𝑿}(t_1\dots ,t_d){|}_{t_1=0,\dots ,t_d=0}.$$

Vegeu uns exemples a la secció següent.

Funció generatriu de moments i funcions característiques d'algunes distribucions importants

Distribució	Funció generatriu de moments $M(t)$	Funció característica $\phi (t)$
Degenerada $X=a$	$e^{ta}$	$e^{ita}$
Bernoulli $P(X=1)=p$	$1-p+p{e}^t$	$1-p+p{e}^{it}$
Geomètrica (Vegeu nota (1))	$\frac{p{e}^t}{1-(1-p)e^t},t<-\ln (1-p)$	$\frac{p{e}^{it}}{1-(1-p)e^{it}}$
Binomial $B(n,p)$	${(1-p+p{e}^t)}^n$	${(1-p+p{e}^{it})}^n$
Binomial negativa $\mathrm{NB}(r,p)$	${\left(\frac{p}{1-e^t+p{e}^t}\right)}^r,t<-\ln (1-p)$	${\left(\frac{p}{1-e^{it}+p{e}^{it}}\right)}^r$
Poisson $\mathrm{Pois}(\lambda )$	$e^{\lambda (e^t-1)}$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
Uniforme (contínua) $\mathrm{U}(a,b)$	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$
Uniforme discreta $\mathrm{U}(\{a,a+1,\dots ,b\})$, $a,b\in \mathbb{Z},a<b.$	$\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(b-a+1)(1-e^t)}$	$\frac{e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(b-a+1)(1-e^{it})}$
Laplace $L(\mu ,b)$	$\frac{e^{t\mu }}{1-b^2{t}^2},|t|<1/b$	$\frac{e^{it\mu }}{1+b^2{t}^2}$
Normal $N(\mu ,{\sigma }^2)$	$e^{t\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$	$e^{it\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$
Khi quadrat ${\chi }_k^2$	$(1-2t{)}^{-\frac{k}{2}},t<1/2$	$(1-2it{)}^{-\frac{k}{2}}$
Khi quadrat no central ${\chi }_k^2(\lambda )$	$e^{\lambda t/(1-2t)}(1-2t{)}^{-\frac{k}{2}}$	$e^{i\lambda t/(1-2it)}(1-2it{)}^{-\frac{k}{2}}$
Gamma $\mathrm{\Gamma }(k,\theta )$	$(1-t\theta {)}^{-k},t<\frac{1}{\theta }$	$(1-it\theta {)}^{-k}$
Exponential $\mathrm{Exp}(\lambda )$	${(1-t{\lambda }^{-1})}^{-1},t<\lambda$	${(1-it{\lambda }^{-1})}^{-1}$
Beta	$1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\prod _{r=0}^{k-1}\frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r}\right)\frac{t^k}{k!}$	${}_1{F}_1(\alpha ;\alpha +\beta ;it)$ (vegeu Sèrie hipergeomètrica)
Cauchy $𝒞(\mu ,\gamma )$	No existeix	$e^{it\mu -\gamma |t|}$
Normal multivariable $N(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$ (Vegeu nota (2))	$e^{{𝐭}^{\prime }(\mathit{\mu }+\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }𝐭)}$	$e^{{𝐭}^{\prime }(i\mathit{\mu }-\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }𝐭)}$
Multinomial $ℳ(n;p_1,\dots ,p_d)$	$(p_1{e}^{t_1}+\cdots p_d{e}^{t_d}{)}^n$	$(p_1{e}^{i{t}_1}+\cdots p_d{e}^{i{t}_d}{)}^n$
Cauchy multivariant (Vegeu nota (2)) $𝒞(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$	No existeix	$e^{i{𝐭}^{\prime }\mathit{\mu }-\sqrt{{𝐭}^{\prime }\mathrm{\Sigma }𝐭}}$

Notes

(1) Distribució geomètrica relativa al número de proves fins al primer èxit, inclòs aquest, amb probabilitat d'èxit $p$.

(2) El vectors estan escrits en columna i ${𝒕}^{\prime }$ designa el transposat del vector $𝒕$