Distribució de probabilitat

Una funció de distribució normal, coneguda pel nom de «campana de Gauss» en honor de Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Percentatges de probabilitat a la distribució normal.

En probabilitats i estadística les expressions distribució de probabilitat o llei de probabilitat tenen diversos sentits: per a nombrosos autors, són sinònimes de Probabilitat, però molts altres autors les reserven per a les probabilitats a ${ℝ}^n$, $n\ge 1$. Però hi ha unanimitat en els termes llei o distribució d'una variable aleatòria o vector aleatori per referir-se a la probabilitat sobre ${ℝ}^n$ induïda per la variable aleatòria o vector aleatori. Atès que hi ha una correspondència bijectiva entre les probabilitats sobre ${ℝ}^n$i les funcions de distribució, es pot donar la distribució d'una variable aleatòria o vector mitjançant la seva funció de distribució; si bé això és interessant des del punt dels resultats generals, per a distribucions de variables o vectors concrets (normals, binomials, etc) les funcions de distribució són sovint feixugues d'utilitzar, i llavors és molt habitual fer servir la funció de densitat (cas absolutament continu), la funció de probabilitat (cas discret), la funció característica o alguna altra transformació que determini unívocament la distribució.

Definició 1

Molts autors utilitzen distribució de probabilitat o llei de probabilitat per designar una probabilitat o mesura de probabilitat en un espai mesurable general $(\mathrm{\Omega },𝒜)$, on $\mathrm{\Omega }$ és un conjunt arbitrari i $𝒜$ és una família de subconjunts d'$\mathrm{\Omega }$ que té estructura de $\sigma$-àlgebra:

1. $\mathrm{\Omega }\in 𝒜$.
2. Si $A\in 𝒜$, llavors, $A^c\in 𝒜$, on $A^c$ designa el complementari del conjunt $A$.
3. Si tenim una col·lecció numerable d'esdeveniments, $\{A_n,n\ge 1\}\subset 𝒜$, aleshores $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in 𝒜$.

En aquest context, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una aplicació $P:𝒜\to [0,1]$ que compleix

1. $P(\mathrm{\Omega })=1$.
2. Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments,$\{A_n,n\ge 1\}\subset 𝒜$, disjunts dos a dos: si $i\ne j,A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$, tenim$$P\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n).$$

Definició 2

Per a d'altres autors, distribució de probabilitat o llei de probabilitat es reserva per a probabilitats sobre els nombres reals $ℝ$ o sobre ${ℝ}^n$. Plantilla:Teorema

Exemples

1. Una distribució de probabilitat normal estàndard ve donada per $$p(A)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{A}{\int }{e}^{-x^2/2}dx,\mathrm{\forall }A\in ℬ(ℝ).$$En particular, per a $-\mathrm{\infty }\le a\le b\le \mathrm{\infty },$ l'interval $[a,b]$ té probabilitat $$p([a,b])=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{-x^2/2}dx.$$2. Una distribució de probabilitat binomial de paràmetres $n=4$ i $p=0,2$ és la probabilitat determinada per: $$p(\{0\})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})0,2^{0}0,8^4=0,4096,p(\{1\})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})0,20,8^3=0,4096,p(\{2\})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})0,2^{2}0,8^2=0,1536,p(\{3\})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})0,2^{3}0,8^1=0,0256,p(\{4\})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})0,2^{4}0,8^0=0,016,$$i $p(\{x\})=0,$ si $x\notin \{0,1,\dots ,4\}$. Aleshores, per a qualsevol $A\in ℬ(ℝ)$, $$p(A)=\sum _{i=0,1,\dots ,4:i\in A}p(\{i\}).$$

Observació sobre la terminologia: Habitualment, quan es parla de distribucions conegudes amb un nom específic, com en els exemples anteriors, en lloc de dir distribució de probabilitat normal o distribució de probabilitat binomial només es diu distribució normal o distribució binomial.

Distribucions singulars. Parts discreta i contínua d'una distribució de probabilitat a Rⁿ

Recordem la nomenclatura estàndard de les mesures sobre $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n))$: una mesura $\mu$ es diu que és

• discreta si existeix un conjunt finit o numerable $C\subset {ℝ}^n$ tal que $\mu (C^c)=0$, on $C^c={ℝ}^n\setminus C$ és el complementari del conjunt $C$.
• contínua si $\mu \{x\}=0$ per a qualsevol $x\in {ℝ}^n$.
• singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt $C\in ℬ({ℝ}^n)$ tal que $\mu (C^c)=0$ i ${\lambda }_n(C)=0$ on ${\lambda }_n$ és la mesura de Lebesgue a ${ℝ}^n$.
• absolutament contínua (respecte la mesura de Lebesgue) si per qualsevol conjunt $B\in ℬ({ℝ}^n)$ tal que ${\lambda }_n(B)=0$, tenim que $\mu (B)=0$.

Quan $\mu$ és discreta (respectivament absolutament contínua) també es diu que és purament discreta (resp. purament absolutament contínua). Cal notar que les definicions de continuïtat i singularitat no són incompatibles, sinó que hi ha mesures alhora contínues i singulars; la distribució de Cantor n'és un exemple. Una mesura contínua i singular es diu que és purament contínua singular.
Descomposició de mesures. Existeixen tres mesures, ${\mu }_d$ discreta, ${\mu }_{cs}$ contínua singular i ${\mu }_{ac}$ absolutament contínua, tals que$$\mu ={\mu }_d+{\mu }_{cs}+{\mu }_{ac}.$$Aquestes mesures són úniques. La mesura ${\mu }_d$ (respectivament ${\mu }_{cs}$ i ${\mu }_{ac}$) s'anomenen la part discreta (resp. part contínua singular i part absolutament contínua) de $\mu$. La mesura ${\mu }_{cs}+{\mu }_{ac}$ s'anomena la part contínua de $\mu$ . Òbviament, aquestes mesures poden ser nul·les: per exemple, si $\mu$ és discreta, aleshores $\mu ={\mu }_d$ i ${\mu }_{cs}={\mu }_{ac}=0$ .
Finalment, d'acord amb el Teorema de Radon-Nikodym, si $\mu$ és $\sigma$-finita (en particular, si és finita), aleshores existeix una funció $f:{ℝ}^n\to [0,\mathrm{\infty })$ mesurable tal que $${\mu }_{ac}(A)=\underset{A}{\int }fd{\lambda }_n,\mathrm{\forall }A\in ℬ({ℝ}^n).$$La funció $f$ s'anomena la funció de densitat de ${\mu }_{ac}$.
Adaptació a les distribucions de probabilitat. Totes aquestes definicions i propietats s'adapten directament al cas de les distribucions de probabilitat a ${ℝ}^n$. Així, per exemple, es diu que una distribució de probabilitat $p$ sobre ${ℝ}^n$ és una distribució discreta si existeix un conjunt finit o numerable $C\subset {ℝ}^n$ tal que $p(C)=1$. O que és una distribució singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt $C\in ℬ({ℝ}^n)$ tal que $p(C)=1$ i ${\lambda }_n(C)=0$.

Funcions de distribució unidimensionals

Plantilla:Article principal Sigui $p$ una probabilitat sobre $ℝ$. La seva funció de distribució és la funció $F:ℝ\to [0,1]$ definida per: $$F(x)=p((-\mathrm{\infty },x]).$$ Té les següents propietats:

(a) $F$ és una funció monòtona no decreixent (també es diu que és creixent): si $x<y$ aleshores $F(x)\le F(y)$.

(b) $F$ és contínua per la dreta en tot punt, és a dir, per a qualsevol $x\in ℝ,F(x)=F(x^{+})=\underset{y\downarrow x}{\lim }F(y)$.

(c)$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0\text{i}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1.$

Per posterior us, és convenient observar que, si $a\le b$, atès que $$(-\mathrm{\infty },b]=(-\mathrm{\infty },a]\cup (a,b],\text{i}(-\mathrm{\infty },a]\cap (a,b]=\mathrm{\varnothing },$$

tenim que $$F(b)-F(a)=p((a,b]).$$

Aquestes tres propietats donen lloc a una nova definició: una funció $G:ℝ⟶[0,1]$ que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució.

Donada una funció de distribució $G$ podem construir una distribució de probabilitat $q$ a $ℬ(ℝ)$ definint-la primer sobre els intervals de la forma $(a,b]$: $$q((a,b])=G(b)-G(a),a<b,$$ i estenent-la a tot $ℬ(ℝ)$ per les tècniques habituals de Teoria de la mesura (Teorema de Cararthéodory, etc.). Tenim Plantilla:Teorema

Exemples

1. Distribució normal estàndard: La funció de distribució és $$F(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}{e}^{-x^2/2}dx.$$És important assenyalar que aquesta integral no es pot expressar en termes de funcions elementals: polinomis,funcions racionals, funcions trigonomètriques, exponencials o logarítmiques.

2. Distribució de probabilitat binomial de paràmetres $n=4$ i $p=0,2$: la funció de distribució és una funció esglaonada: $$F(t)=\sum _{i=0,1,\dots ,4:i\le t}p(\{i\}).$$

Funcions de densitat, funcions de probabilitat, etc

Com hem vist als exemples, la manera més habitual de donar una probabilitat a $ℝ$ és mitjançant una funció de densitat (cas absolutament continu) o una funció de probabilitat (cas discret). També utilitzar la funció característica o una altra transformació similar.

Distribució o llei d'una variable aleatòria

Sigui $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ un espai de probabilitat i $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ una variable aleatòria. La distribució de probabilitat de $X$, o senzillament, distribució de $X$, o llei de $X$ és la probabilitat a $ℝ$ definida per $$p(A)=P\{X\in A\},A\in ℬ(ℝ).$$La funció de distribució $F$ de $p$ s'anomena la funció de distribució de $X$, i ve donada per $$F(x)=p((-\mathrm{\infty },x])=P(\{X\in (-\mathrm{\infty },x]\})=P(X\le x).$$Plantilla:Teorema Ens podem preguntar si, donada una distribució concreta (per exemple, normal, o binomial), la frase <<Sigui $X$ una variable aleatòria amb funció de distribució $F$>> sempre és correcta, és a dir, si sempre existeix una variable aleatòria amb la distribució demanada. La resposta és afirmativa:

Plantilla:Caixa desplegable

Igualtat en distribució de variables aleatòries

Considerem dues variables aleatòries $X$ i $Y$, que poden estar definides en espais de probabilitat diferents, i designem per $p_X$ i $p_X$ les seves distribucions. Es diu que $X$ i $Y$ son iguals en distribució o en llei si $p_X=p_Y$. En aquest cas, s'escriu $X\stackrel{𝒟}{=}Y\text{o}X\stackrel{ℒ}{=}Y.$ Evidentment, si $F_X$ i $F_Y$ són les funcions de distribució corresponents, aquesta propietat és equivalent a $F_X=F_Y$ .

Exemples

1. Juguem amb un dau perfecte i ${\mathrm{\Omega }}_1=\{1,2,3,4,5,6\}$considerem la variable $X$ que val 1 si surt parell i 0 si surt senar .Tirem una moneda perfecta i sigui ${\mathrm{\Omega }}_2=\{\text{cara, creu}\}$ i $Y$ la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
2. Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. Per exemple, tirem dos daus i $X$ representa el resultat del primer dau i $Y$ el del segon, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però si surt 1 al primer dau i 2 al segon dau, $X(1,2)=1\text{mentre que}Y(1,2)=2.$

Igualtat quasi segura de variables aleatòries

Es diu que dues variables aleatòries $X\text{i}Y$ (definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si $P(X=Y)=1$. S'escriu $$X=Y,\text{q.s.}$$

Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.

Convergència en llei o distribució de variables aleatòries

Plantilla:Article principal Considerem una successió de variables aleatòries $X_1,X_2,\dots$ i sigui $X$ una altra variable aleatòria, amb funcions de distribució $F_1,F_2,\dots$ i $F$ respectivament. Es diu que la successió convergeix en distribució o llei a $X$ si $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_n(t)=F(t),\text{en tot punt}t\text{on}F\text{és contínua}.$$ Un cas especialment important de convergència en llei és el Teorema central del límit.

Extensió a Rⁿ

Considerem una probabilitat $p$ a $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n))$. La seva funció de distribució és la funció $F:{ℝ}^n\to [0,1]$ definida per $$F(x_1,\dots ,x_n)=p((-\mathrm{\infty },x_1]\times \cdots \times (-\mathrm{\infty },x_n]).$$

Per estudiar les seves propietats necessitem les següents notacions: Escriurem els elements de

${ℝ}^n$

en negretes; donats

$𝒂=(a_1,\dots ,a_n)$

i

$𝒃=(b_1,\dots ,b_n)$

direm que

$𝒂<𝒃$

, si

$a_i<b_i,i=1,\dots ,n.$

Per

$𝒂<𝒃$

,

Figura 1. Descomposició d'un interval bidimensional

definim

$${\mathrm{\Delta }}_{𝒂,𝒃}F=\sum _{({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)\in \{0,1{\}}^n}(-1{)}^{{\epsilon }_1+\cdots +{\epsilon }_n}F(b_1+{\epsilon }_1(b_1-a_1),\dots ,b_n+{\epsilon }_n(b_n-a_n)).$$

Per exemple, si

$n=1$

,

$a,b\in ℝ,a<b$

,

$${\mathrm{\Delta }}_{a,b}F=F(b)-F(a)=p((a,b]).$$

Per $n=2$, amb $𝒂=(a_1,a_2)$, $𝒃=(b_1,b_2)$, amb $𝒂<𝒃$, $${\mathrm{\Delta }}_{𝒂,𝒃}F=F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(a_1,b_2)+F(a_1,a_2)=p((a_1,b_1]\times (a_2,b_2]).(*)$$ Vegeu la Figura 1. Plantilla:Caixa desplegable Retornant al cas general, tenim $${\mathrm{\Delta }}_{𝒂,𝒃}F=p((𝒂,𝒃]),$$on $(𝒂,𝒃]=(a_1,b_1]\times \cdots \times (a_n,b_n].$

Propietats de la funció de distribució n-dimensional

La funció $F$ té les següents propietats:

(a) Per a qualsevol parell $𝒙,𝒚\in {ℝ}^n,𝒙<𝒚,$ tenim que ${\mathrm{\Delta }}_{𝒙,𝒚}F\ge 0.$

(b) És contínua per la dreta: per qualsevol $(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n,$ $$\underset{y_1\downarrow x_1,\dots ,y_n\downarrow x_n}{\lim }F(y_1,\dots ,y_n)=F(x_1,\dots ,x_n).$$

(c) $$\underset{x_1\to \mathrm{\infty },\dots ,x_n\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x_1,\dots ,x_n)=1$$i

$$\underset{x_i\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x_1,\dots ,x_n)=0,i=1,\dots ,n.$$

Com en el cas unidimensional, aquestes propietats donen lloc a una nova definició: Una funció $G:{ℝ}^n\to [0,1]$ que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució $n$-dimensional. A partir d'una d'aquestes funcions pot definir-se una probabilitat a $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n))$ mitjançant $$q(𝒂,𝒃])={\mathrm{\Delta }}_{𝒂,𝒃}G,𝒂<𝒃.$$Llavors tenim una correspondència bijectiva entre les probabilitats a $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n))$ i les funcions de distribució $n$-dimensionals.

Distribució o llei d'un vector aleatori

S'anomena distribució o llei d'un vector aleatori $𝑿=(X_1,\dots ,X_n)$ a la probabilitat sobre ${ℝ}^n$ induïda per ell :

$$p(A)=P\{𝑿\in A\},A\in ℬ({ℝ}^n).$$La funció de distribució de $𝑿$ és la funció $F:{ℝ}^n\to [0,1]$ definida per $$F(x_1,\dots ,x_n)=P(X_1\le x_1,\dots ,\le X_n\le x_n),$$

on, com és habitual amb els vectors aleatoris, les comes s'interpreten com interseccions: $$P(X_1\le x_1,\dots ,\le X_n\le x_n)=P(\{X_1\le x_2\}\cap \cdots \cap \{X_n\le x_n\}).$$Les definicions de igualtat en distribució i igualtat quasi segura de vectors aleatoris són iguals a les de variables aleatòries.

També tenim que donada una funció de distribució $n$-dimensional $F$, existeix un espai de probabilitat i un vector aleatori $𝑿=(X_1,\dots ,X_n)$ tal que la seva funció de distribució és $F$.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre