Distribució binomial

Plantilla:Distribució de probabilitat En Teoria de la probabilitat i en estadística, una variable aleatòria $X$ es diu que té una distribució binomial de paràmetres $n$ i $p$ si representa el nombre d'èxits en $n$ repeticions independents d'una prova que té probabilitat d'èxit $p$. Per exemple, tirem 10 vegades un dau ordinari i comptem quantes vegades surt un 6; en aquest cas l'èxit és "treure un 6", i la variable que compta el nombre de sisos té una distribució binomial de paràmetres $n=10$ i $p=1/6$.

La distribució binomial és la base de la popular prova binomial de significació estadística.

Va ser proposada pel matemàtic i físic suís Jacob Bernoulli.

Distribució de Bernoulli

Plantilla:AP Les distribucions binomials s'inscriuen en el marc de referència de les distribucions de Bernoulli. S'anomena experiència de Bernoulli aquell experiment aleatori del qual només s'estudia la verificació o no d'un esdeveniment $A$ que pot donar-se amb probabilitat $P(A)=p.$ La realització de l'esdeveniment $A$ s'anomena èxit. S'acostuma a representar la probabilitat del complementari (no $A$), la realització del qual s'anomena fracàs, per $P(\text{no}A)=q;$ és clar que $p+q=1.$

Així, un experiment o experiència de Bernoulli es caracteritza per ser dicotòmic, és a dir, només són possibles dos resultats: èxit o fracàs.

Exemples d'experiències de Bernoulli

1. Es llança una moneda, l'esdeveniment A podria ser "que surti cara".
2. En una bossa hi ha boles blanques, negres i vermelles. traiem una bola i mirem si és de color blanc o no. L'esdeveniment A podria ser "treure bola blanca".
3. En un referèndum amb possibles respostes Sí o No, l'esdeveniment A podria ser "que surti Sí".

Distribució binomial

La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que fa el recompte del nombre de vegades que es verifica l'èxit (realització de l'esdeveniment $A$) quan es repeteix $n$ vegades, de forma independent i en les mateixes condicions, una experiència de Bernouilli.

Per n = 1, la distribució binomial és una distribució de Bernoulli.

Designem per X la variable aleatòria que mesura el nombre d'èxits que s'han produït en els n experiments. Per indicar que segueix una distribució binomial de paràmetres n i p , s'escriu:

$$X\sim B(n,p)$$

Exemples

Les següents situacions són exemples d'experiments que poden modelitzar per aquesta distribució:

• Es llança un dau deu vegades i es compta el nombre de sisos obtinguts: X ~ B(10, 1/6)
• Es llança una moneda dues vegades i es compta el nombre de cares obtingudes, tenim $B(2,0^{\prime }5).$
• Una partícula es mou unidimensionalment amb probabilitat $q$ de moure's una unitat de distància cap enrere i $p=1-q$ de moure's una unitat cap endavant. Després de $n$ moviments, el nombre de vegades que s'ha mogut cap endavant és una variable binomial $B(n,p)$ .

Propietats característiques

Mitjana i Variància

Sigui $X\sim B(n,p)$ una variable aleatòria binomial de paràmetres $n$ i $p$.

$$𝔼[X]=np$$

Això es dedueix per la linealitat de l'esperança, ja que Plantilla:Mvar és la suma de Plantilla:Mvar variables aleatòries de Bernoulli idèntiques, cadascuna d'elles amb esperança Plantilla:Mvar. És a dir, si $X_1,\dots ,X_n$ són variables aleatòries iguals (i independents) de Bernoulli amb paràmetre Plantilla:Mvar, aleshores$$X=X_1+\cdots +X_n$$ i, atès que $$E[X_i]=p\cdot 1+q\cdot 0=p,i=1,\dots ,n,$$tindrem que $$\mathrm{E}[X]=\mathrm{E}[X_1+\cdots +X_n]=\mathrm{E}[X_1]+\cdots +\mathrm{E}[X_n]=p+\cdots +p=np.$$D'altra banda, per a una variable de Bernoulli, $$E[X_i^2]=p\cdot 1^2+q\cdot 0^2=p,$$d'on $$\text{Var}(X_i)=p-p^2=p(1-p),i=1,\dots ,n.$$Llavors, de la independència de $X_1,\dots ,X_n$, es dedueix que

$$\text{Var}[X]=np(1-p).$$

Funció de probabilitat

Sigui $X$ una variable aleatòria binomial de paràmetres $n$ i $p$. Aleshores la probabilitat d'obtenir exactament $k$ èxits en $n$ repeticions (proves) independents de Bernouilli és:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n.$$on $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ és el coeficient binomial.

Així, la funció de probabilitat de $X$ és $$f(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n.$$

Funció de distribució

$$F(x)=\mathrm{Pr}(X\le x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si}x<0,\\ \sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i},& \text{si}x\in [0,n],\\ 1,& \text{si}x>n.\end{array}$$

on $[x]$ denota la part entera de $x$.

Fites de les cues

Per k ≤ np, es poden derivar fites superiors per la cua inferior de la funció de distribució acumulada $F(k;n,p)=\mathrm{Pr}(X\le k)$, la probabilitat que hi hagi com a màxim k successos. Com que $\mathrm{Pr}(X\ge k)=F(n-k;n,1-p)$, també es poden interpretar aquestes fites per a la cua superior de la funció de distribució per k ≥ np.

La desigualtat de Hoeffding dóna la fita simple

$F(k;n,p)\le \exp (-2n{(p-\frac{k}{n})}^2),$

que no és, tanmateix, gaire forta. En particular, quan p = 1, s'obté F(k;n,p) = 0 (per a k i n fixes amb k < n), però la fita de Hoeffding dóna una constant positiva.

S'obté una fita més exacta mitjançant la fita de Chernoff:

$F(k;n,p)\le \exp (-nD(\frac{k}{n}\parallel p))$

on D(a || p) és l'entropia relativa (o divergència Kullback-Leibler) entre una moneda-ai una moneda-p (és a dir entre Bernoulli(a) i Bernoulli(p) distribution):

$D(a\parallel p)=(a)\log \frac{a}{p}+(1-a)\log \frac{1-a}{1-p}.$

Asimptòticament, aquesta fita és raonablement exacta; vegi's per més detalls.

També es poden obtenir fites inferiors de la cua $F(k;n,p)$, conegudes com fites anti-concentració. Aproximant el coeficient binomial amb l'aproximació de Stirling es pot demostrar que

$F(k;n,p)\ge \frac{1}{\sqrt{8n\frac{k}{n}(1-\frac{k}{n})}}\exp (-nD(\frac{k}{n}\parallel p)),$

que implica la fita més simple però menys exacta:

$F(k;n,p)\ge \frac{1}{\sqrt{2n}}\exp (-nD(\frac{k}{n}\parallel p)).$

Per p = 1/2 i k ≥ 3n/8 amb n parell, es pot fer que el denominador sigui constant:

$F(k;n,\frac{1}{2})\ge \frac{1}{15}\exp (-16n{(\frac{1}{2}-\frac{k}{n})}^2).$

Exemple

Suposem que tenim una moneda trucada amb probabilitat 0.3 que surti cara. La probabilitat que surtin 4 cares en 6 llançaments és

$$f(4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})0.3^4(1-0.3{)}^{6-4}=0.059535.$$

Aproximació de la distribució binomial per les distribucions de Poisson i normal

Si $n$ tendeix a infinit i $p_n$ és tal que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{p}_n=\lambda$, llavors la distribució d'una variable aleatòria binomial de paràmetres $n$ i $p_n$tendeix a una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda$.

D'altra banda, pel teorema central del límit, quan n és gran (normalment s'exigeix que $n\ge 30$) la distribució binomial es pot aproximar mitjançant la distribució normal.

Distribucions relacionades

Suma de binomials

Si Plantilla:Math i Plantilla:Math són variables binomials independents amb la mateixa probabilitat Plantilla:Math, llavors Plantilla:Math és també una variable binomial; la seva distribució és Plantilla:Math:

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(Z=k)& =\sum _{i=0}^k[(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}][(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})p^{k-i}(1-p{)}^{m-k+i}]\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})p^k(1-p{)}^{n+m-k}\end{array}$

Es pot considerar una variable aleatòria distribuïda de forma binomial Plantilla:Math com la suma de Plantilla:Math variables aleatòries distribuïdes segons Bernoulli. Així doncs, la suma de les variables aleatòries binomials Plantilla:Math i Plantilla:Math és equivalent a la suma de Plantilla:Math variables aleatòries de Bernoulli, és a dir Plantilla:Math. També es pot demostrar això directament utilitzant la regla de la suma.

No obstant això, si Plantilla:Math i Plantilla:Math no tenen la mateixa probabilitat Plantilla:Math, llavors la variància de la suma serà més petita que la variància de la variable binomial distribuïda com Plantilla:Math.

Distribució binomial de Poisson

La distribució binomial és un cas particular de la distribució binomial de Poisson, que és la distribució de una suma de Plantilla:Math assajos de Bernoulli independents i no idèntics Plantilla:Math.

Ràtio de dues distribucions binomials

Aquest resultat va ser derivat per primer cop per Katz i coautors l'any 1978.

Siguin Plantilla:Nowrap i Plantilla:Nowrap independents. Sigui Plantilla:Nowrap.

Llavors log(T) està distribuït aproximadament de forma normal amb mitjana log(p₁/p₂) i variància Plantilla:Nowrap.

Distribució de Bernoulli

La distribució de Bernoulli és un cas particular de la distribució binomial, amb Plantilla:Math. Simbòlicament, Plantilla:Math té el mateix significat que Plantilla:Math. En canvi, la distribució binomial, Plantilla:Math, és la distribució de la suma de Plantilla:Math assajos de Bernoulli independents, Plantilla:Math, cadascun amb la mateixa probabilitat Plantilla:Math.

Aproximació de Poisson

La distribució binomial convergeix a la distribució de Poisson a mesura que el nombre d'assajos tendeix a infinit mentre que el producte Plantilla:Math convergeix a un límit finit. Per tant, es pot utilitzar una distirbució de Poisson amb paràmetre Plantilla:Math per aproximar Plantilla:Math de la distribució binomial si Plantilla:Math és prou gran i Plantilla:Math és prou petit. Segons la regla del polze, aquesta aproximació és bona si Plantilla:Math i Plantilla:Math tal que Plantilla:Math, o si Plantilla:Math i Plantilla:Math tal que Plantilla:Math, o si Plantilla:Math i Plantilla:Math.

Sobre la precisió de l'aproximació de Poisson, vegi's Novak, capítol 4, i les referències que s'hi citen.

Propietats reproductives

Donades m variables binomials independents $X_i$, i = 1, ..., m, de paràmetres $n_i$ i $p_i$, respectivament, la seva suma S és també una variable binomial, de paràmetres $n_1+\cdots +n_m$ i $p$, és a dir,

$$S=\sum _{i=1}^m{X}_i\sim B(\sum _{i=1}^m{n}_i,p).$$

Vegeu també

• Distribució hipergeomètrica
• Distribució multinomial