Distribució multinomial

En probabilitat i estadística la distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan en un experiment aleatori hi ha més de dos resultats possibles. Concretament, fem $n$ repeticions d'un experiment que té $k$ resultats diferents possibles i comptem el nombre de vegades que es produeix cadascun dels resultats possibles. Entre les nombroses aplicacions d'aquesta distribució en Estadística destaca el test de Pearson de la ${\chi }^2$.

Definició

Considerem un experiment aleatori que pot tenir $k$ resultats diferents, que designarem per $R_1,\dots ,R_k$, mútuament excloents, amb probabilitats respectives $p_1,\dots ,p_k\in (0,1)$ tals que $p_1+\cdots +p_k=1$. Fem $n$ repeticions independents i denotem per $X_1$ el nombre de vegades que obtenim el resultat $R_1$, per $X_2$ el nombre de vegades que obtenim el resultat $R_2$, i així successivament. Aleshores la probabilitat d'obtenir $x_1$ vegades el resultat $R_1$, $x_2$ vegades el resultat $R_2$, etc., amb $x_1+\cdots +x_k=n$, és$$P(X_1=x_1,\dots ,X_k=x_k)=\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}{p}_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}.$$Cal recordar que a l'expressió de l'esquerra, les comes indiquen interseccions, així,$$P(X_1=x_1,\dots ,X_k=x_k)=P(\{X_1=x_1\}\cap \cdots \cap \{X_k=x_k\}).$$Es diu que el vector $𝑿=(X_1,\dots ,X_k)$ segueix una distribució multinomialPlantilla:SfnPlantilla:Sfn de paràmetres $n,p_1,\dots ,p_k$, i s'escriu $𝑿\sim ℳ(n;p_1,\dots ,p_k)$. Cal notar que cada component $X_i$ té una distribució binomial de paràmetres $n$ i $p_i$, $X_i\sim B(n,p_i)$. De fet, una distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan hi ha més de dos resultats possibles.

Exemple. Tenim una urna amb 4 boles blanques, 3 vermelles i 3 grogues. Traiem $n=4$ boles amb reemplaçament, és a dir, traiem una bola, anotem el color, la retornem a l'urna, en traiem una altra, la retornem, i així successivament fins que hem tret quatre boles. Designem per:

$X_1$: nombre de boles blanques que traiem.

$X_2$: nombre de boles vermelles que traiem.

$X_3$: el nombre de boles grogues que traiem.

Tenim que $p_1=0^{\prime }4$, $p_2=0^{\prime }3$ i $p_3=0^{\prime }3$. Llavors, la probabilitat de treure 1 bola blanca, 1 vermella i 2 grogues és$$P(X_1=1,X_2=1,X_3=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4!}{1!1!2!})0^{\prime }{4}^1{0}^{\prime }{3}^1{0}^{\prime }{3}^2=0^{\prime }1296.$$Coeficients multinomials. Recordem que$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x,\dots ,x_k})=\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}$$s'anomena coeficient multinomial. Aquest coeficient intervé en generalització de la fórmula del binomi de Newton quan hi ha més de dos sumands:$$(a_1+a_2+\cdots +a_k{)}^n=\sum (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x_1,\dots ,x_k})a_1^{x_1}\cdots a_k^{x_k},(*)$$on la suma es fa sobre totes les $k$-ples $(x_1,\dots ,x_k)\in \mathbb{\{}0,1,\dots ,n{\}}^k$ tals que $x_1+\cdots +x_k=n$. La fórmula (*) intervé a l'estudi de moltes propietats d'aquesta distribució.

Comentari sobre la nomenclatura. Atès que $X_1+\cdots +X_k=n$ i que els paràmetres són redundants, ja que $p_1+\cdots +p_k=1$, alguns autors, per exemple Wilks, proposen una notació alternativa: diuen que un vector $(X_1,\dots ,X_k)$ segueix una distribució multinomial de paràmetres $n,p_1,\dots ,p_k$, on $p_1,\dots ,p_k\in (0,1),\text{amb}{p}_1+\cdots +p_k<1$, si la funció de probabilitat és$$P(X_1=x_1,\dots ,X_k=x_k)=\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!(n-\sum _{i=1}^k{x}_i)!}{p}_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}(1-\sum _{i=1}^k{p}_i{)}^{n-\sum _{i=1}^k{x}_i},$$on $\sum _{i=1}^k{x}_i\le n$. Seber, quan $\sum _{i=1}^k{p}_i=1$, diu que és la forma singular de la distribució multinomial, mentre que si $\sum _{i=1}^k{p}_i<1$ és la formulació no singular. La notació que utilitzem en aquest article és la més habitual, però és recomanable comprovar quina definició de distribució multinomial s'està utilitzant.

Propietats

Esperança, variància i covariància

L'esperança de cada component és$$E[X_j]=n{p}_j,j=1,\dots ,k.$$La variància és$$\text{Var}(X_j)=n{p}_j(1-p_j),j=1,\dots ,k.$$Ambdues propietats es dedueixen del fet que $X_j$ té una distribució binomial $B(n,p_j)$.

Per a $i\ne j$, la covariància és (vegeu la demostració després de la funció característica)$$\text{Cov}(X_i,X_j)=-n{p}_i{p}_j.$$D'aquí resulta que el coeficient de correlació entre $X_i$ i $X_j$ és$$\rho (X_i,X_j)=\frac{\text{Cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\text{Var}(X_i)\text{Var}(X_j)}}=-\sqrt{\frac{p_i{p}_j}{(1-p_i)(1-p_j)}},$$que és independent de $n$.

La matriu de variàncies-covariàncies és $n\mathrm{\Sigma }$, on$$\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cccc}{p}_1(1-p_1)& -p_1{p}_2& \cdots & -p_1{p}_k\\ -p_1{p}_2& p_2(1-p_2)& \cdots & -p_2{p}_k\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -p_1{p}_k& -p_2{p}_k& \cdots & p_k(1-p_k)\end{array}\right)$$que té rang $k-1$.

Escriptura compacta de la matriu $\mathrm{\Sigma }$

La matriu $\mathrm{\Sigma }$ es pot escriure de la següent forma:$$\mathrm{\Sigma }=\text{Diag}(𝒑)-{𝒑}^{\prime }𝒑,$$on $𝒑=(p_1,\dots ,p_k)$ (en aquest article escriurem tots els vectors en fila), $\text{Diag}(𝒑)$ és una matriu diagonal amb els elements $p_1,\dots ,p_k$, i per una matriu (o vector) $𝑩$, denotarem per ${𝑩}^{\prime }$ la seva transposada.Plantilla:Caixa desplegable

Funció característica i funció generatriu de moments

La funció característica del vector $𝑿=(X_1,\dots ,X_k)$ és$$\phi (t_1,\dots ,t_k)=E[e^{i(t_1{X}_1+\cdots +t_k{X}_k)}]=(p_1{e}^{i{t}_1}+\cdots +p_k{e}^{i{t}_k}{)}^n,t_1,\dots ,t_k\in ℝ.$$La funció generatriu de moments és$$L(t_1,\dots ,t_k)==E[e^{t_1{X}_1+\cdots +t_k{X}_k}]=(p_1{e}^{t_1}+\cdots +p_k{e}^{t_k}{)}^n,t_1,\dots ,t_k\in ℝ.$$La funció generatriu de probabilitats és$$G(z_1,\dots ,z_k)=E[z_1{e}^{X_1}\cdots z_k^{X_k}]=(p_1{z}_1+\cdots +p_k{z}_k),z_1,\dots ,z_k\in ℂ.$$Plantilla:Caixa desplegable

Plantilla:Caixa desplegable

Caràcter reproductiu

Siguin $𝑿=(X_1,\dots ,X_d)\sim M(n;p_1,\dots ,p_d)$ i $𝒀=(Y_1,\dots ,Y_d)\sim M(m;p_1,\dots ,p_d)$ independents. Aleshores $𝑿+𝒀\sim M(n+m;p_1,\dots ,p_k)$. Es diu que la distribució multinomial és reproductiva respecte de $n$. També s'escriu$$M(n;p_1,\dots ,p_k)*M(m;p_1,\dots ,p_k)=M(n+m;p_1,\dots ,p_k),$$on $*$ designa la convolució de probabilitats.Plantilla:Caixa desplegable

Comportament asimptòtic

La distribució multinomial és asimptòticament normal

Com a conseqüència del teorema central del límit multidimensional, si considerem una successió ${𝑿}_n=(X_{n1},\dots ,X_{nk})\sim ℳ(n;p_1,\dots ,p_k)$, $n\ge 1$, aleshores$$\frac{1}{\sqrt{n}}({𝑿}_n-n𝒑)⟶\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{𝒟}{\mathrm{\backslash limits}}}𝒩(0,\mathrm{\Sigma }),$$on $𝒑=(p_1,\dots ,p_k)$, $\mathrm{\Sigma }$ és la matriu que hem introduït abans i $𝒩(0,\mathrm{\Sigma })$ és una distribució normal multidimensional centrada amb matriu de variàncies covariàncies $\mathrm{\Sigma }$. Normalment, aquesta propietat s'escriu en components suprimint el subíndex $n$ de les variables $X_{n1},\dots ,X_{nk}$:$$\frac{1}{\sqrt{n}}(X_1-n{p}_1,\dots ,X_k-n{p}_k)⟶\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{𝒟}{\mathrm{\backslash limits}}}𝒩(0,\mathrm{\Sigma }).(**)$$Plantilla:Caixa desplegable

La distribució χ² entra en escena

Tenim la convergència:$$\sum _{i=1}^k\frac{(X_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}⟶\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{𝒟}{\mathrm{\backslash limits}}}{\chi }^2(k-1),$$on ${\chi }^2(k-1)$ és una distribució ${\chi }^2$-quadrat amb $k-1$ graus de llibertat. Aquest resultat és molt important ja que en ell es basa el test de la ${\chi }^2$de Pearson i va ser demostrar per Pearson l'any 1900.Plantilla:Caixa desplegable

Relació amb la distribució de Poisson

Siguin $Y_1,\dots ,Y_k$ variables independents, amb distribucions de Poisson $Y_1\sim Pois({\lambda }_1),\dots ,Y_k\sim Pois({\lambda }_k)$. Aleshores la distribució de $(Y_1,\dots ,Y_k)$ condicionada a $Y_1+\cdots +Y_k=n$ és una distribució multinomial $ℳ(n,{\lambda }_1/{\lambda }^{*},\dots ,{\lambda }_k/{\lambda }^{*})$ on ${\lambda }^{*}=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i$Plantilla:Sfn.

Vegeu també

Prova de la ${\chi }^2$ de Pearson

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre