Teorema multinomial

En matemàtiques, el teorema multinomial és una expressió d'una potència d'una suma en termes de potències dels sumands. Per qualsevol enter positiu m i qualsevol enter no negatiu n, la fórmula multinomial és

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m}^{k_{m}} .

El sumatori es realitza en totes les seqüències dels índexs enters no negatius k₁ a k_m tals que $\sum_{i = 1}^{m} k_{i} = n$ . Igual que en el teorema binomial, les quantitats de la forma 0⁰ que apareixen es consideren iguals a 1.

Els nombres

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m}!} = (\binom{k_{1}}{k_{1}}) (\binom{k_{1} + k_{2}}{k_{2}}) \dots (\binom{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m}}{k_{m}}) = \prod_{i = 1}^{m} (\binom{\sum_{j = 1}^{i} k_{j}}{k_{i}})

són els coeficients multinomials.

Els coeficients multinomials tenen una interpretació directa en combinatòria, com el nombre de formes de posar n objectes diferents en m capses, amb k₁ objectes a la primera capsa, k₂ objectes a la segona capsa, etcètera.

A més, el coeficient multinomial és també el nombre de formes diferents de permutar un conjunt de n elements, sent k_i el nombre de cops que es repeteix cada un dels diferents elements. Per exemple, el nombre de permutacions diferents de les lletres de la paraula ARRANJAR, que té 3 As, 3 Rs, 1 N, i 1 J és

(\binom{8}{3, 3, 1, 1}) = \frac{8!}{3! 3! 1! 1!} = 1120

El teorema binomial és un cas especial, per m = 2, del teorema multinomial.

Demostració

Aquesta demostració del teorema multinomial usa el teorema binomial i el teorema d'inducció en m.

Pel pas inicial (m = 1), els dos costats valen $x_{1}^{n}$ .

Pel pas inductiu, suposa el teorema multinomial per m. Llavors

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m} + x_{m + 1})^{n} =

= (x_{1} + x_{2} + \dots + (x_{m} + x_{m + 1}))^{n} =

= \sum_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, K} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, K}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m - 1}^{k_{m - 1}} (x_{m} + x_{m + 1})^{K} =

per la hipòtesi d'inducció, sent $K = k_{m} + k_{m + 1}$ .

Aplicant el teorema binomial a l'últim factor,

= \sum_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, K} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, K}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m - 1}^{k_{m - 1}} \sum_{k_{m}, k_{m + 1}} (\binom{K}{k_{m}, k_{m + 1}}) x_{m}^{k_{m}} x_{m + 1}^{k_{m + 1}} =

= \sum_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, k_{m}, k_{m + 1}} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, k_{m}, k_{m + 1}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m - 1}^{k_{m - 1}} x_{m}^{k_{m}} x_{m + 1}^{k_{m + 1}}

que completa la inducció.

L'últim pas se segueix de

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, K}) (\binom{K}{k_{m}, k_{m + 1}}) = (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, k_{m}, k_{m + 1}}),

com es pot veure escrivint els tres coeficients usant factorials:

\frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m - 1}! K!} \frac{K!}{k_{m}! k_{m + 1}!} = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m + 1}!}

Teorema multinomial

Demostració

Menú de navegació

Cerca