Desigualtat de Hölder

En anàlisi matemàtica la desigualtat de Hölder és una desigualtat important entre integrals i una eina indispensable per a l'estudi d'espais $L^p$.

Sigui $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$ un espai de mesura i siguin $p$ i $q$ dos nombres reals, amb $1\le p,q\le \mathrm{\infty }$ i tals que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Llavors, la desigualtat de Hölder afirma que per tot parell de funcions $f\in L^p(S)$ i $g\in L^q(S)$ es compleix que $\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$, o, de manera més explícita, que $\underset{S}{\int }fgd\mu \le (\underset{S}{\int }|f{|}^{p}d\mu {)}^{1/p}(\underset{S}{\int }|g{|}^{q}d\mu {)}^{1/q}$.

En el cas $p=q=2$ és coneguda com a desigualtat de Cauchy-Schwarz.

Bibliografia

• Brézis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations (en anglès). Nova York: Springer, 2011. Plantilla:ISBN.
• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G. (1934), Inequalities, Cambridge University Press, Plantilla:ISBN