Distribució uniforme contínua

En teoria de probabilitat i estadística, es diu que una variable aleatòria $X$ té una distribució uniforme contínua en un interval $[a,b]$ si la probabilitat que $X$ pertanyi a un subinterval $[c,d]\subset [a,b]$ és proporcional a la longitud de $[c,d]$:

$$P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}.$$La probabilitat que $X<a$ o $X>b$ és zero.

Abreujadament es diu que $X$ és una variable aleatòria uniforme en l'interval $[a,b]$, i s'escriu $X\sim U(a,b)$.

La funció de distribució $F$ és calcula de la següent manera: per a $x<a,F(x)=P(X\le x)=0$. Per a $x\in [a,b)$ $$F(x)=P(X\le x)=P(a\le X\le x)=\frac{x-a}{b-a}.$$ Finalment, per a $x\ge b,F(x)=P(X\le x)=P(0\le X\le b)=1.$

La funció de densitat $f$ és $$f(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }x<a,\\ \frac{1}{b-a},& \text{si }x\in [a,b],\\ 0,& \text{si }x>b.\end{array}$$ Noteu que la funció de densitat és constant en l'interval $[a,b]$, amb analogia a la distribució uniforme discreta, la funció de probabilitat de la qual és constant en els punts on està definida.

Si dividim l'interval$[a,b]$ en dues parts iguals, $[a,(a+b)/2]$ i $[(a+b)/2,b]$, la probabilitat que la variable $X$ estigui en una part o en l'altre són iguals a $1/2$. En general, si dividim $[a,b]$ en $n$parts iguals, la probabilitat que estigui en cadascuna de les parts és $1/n$. Intuïtivament, la distribució uniforme contínua és una generalització de la distribució uniforme discreta al cas continu.

Sovint s'utilitza la frase un punt $X$ elegit a l'atzar a l'interval $[a,b]$ per indicar que $X\sim U(a,b)$.

Relació amb la variable uniforme en $[0,1]$

Si $X\sim U(a,b)$, aleshores la variable

$U=\frac{X-a}{b-a}$ és uniforme en $[0,1]$, en símbols, $U\sim U(0,1).$

Recíprocament, si $U\sim U(0,1),$aleshores la variable definida per

$X=a+(b-a)U$ és uniforme en $[a,b]$

Vegeu també

• Distribució uniforme discreta
• Per a la suma de variables uniformes independents: Distribució de Irwin-Hall
• Per a la mitjana de variables uniformes independents: Distribució de Bates