Distribució de Bates

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució de Bates, que duu el nom de Grace E. Bates, és la distribució de probabilitat de la mitjana de n variables aleatòries independents, cadascuna amb distribució uniforme en l'interval unitat [0,1]. Aquesta distribució està relacionada amb la distribució d'Irwin–Hall, que és la distribució de la suma de n variables aleatòries independents amb distribució uniforme a l'interval [0,1], i, a vegades, es confonen ambdues. Malgrat els noms de Bates, Irwing i Hall, aquesta mena de distribucions van ser estudiades per Joseph Luis Lagrange el 1770 i per Nicolai Lobatxevski el 1832, i redescobertes per nombrosos autors.

Definició i funció de densitat

Siguin $U_1,\dots ,U_n$ variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Designem per $M_n$ la mitjana d'aquestes variables: $$M_n=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{U}_j.$$ La distribució de $M_n$ és coneguda com a distribució de Bates. És una distribució contínua amb funció de densitat$$f_{M_n}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{n^n}{(n-1{)}^n}\sum _{k=0}^{[nx]}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x-\frac{k}{n}{)}^{n-1},& \text{si}x\in [0,1],\\ \\ 0,& \text{en cas contrari},\end{array}$$on $[r]$ és la part entera del nombre real $r$ .

Alternativament $$f_{M_n}(x)=\frac{n^n}{(n-1{)}^n}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x-\frac{k}{n}{)}_{+}^{n-1},x\in [0,1],$$on $$r_{+}^m=\{\begin{array}{cc}{r}^m,& \text{si}r>0\\ 0,& \text{en cas contrari}.\end{array}$$Ambdues expressions són equivalents, ja que a la segona expressió, per a $j=[nx]+1,\dots ,n$, tenim que $x-j/n<0$.

Sigui $S_n$ la suma de $U_1,\dots ,U_n$ : $$S_n=\sum _{j=1}^n{U}_j,$$ que té una distribució d'Irwin-Hall, i designem per $f_{S_n}(x)$ la seva funció de densitat. Tenim que $$M_n=\frac{1}{n}{S}_n.$$Per la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries amb densitat tenim que $$f_{M_n}(x)=n{f}_{S_n}(nx).$$Per tant, la fórmula de $f_{M_n}(x)$ es dedueix de la $f_{S_n}(x)$ a la pagina de la distribució d'Irwin-Hall on també hi ha les demostracions corresponents.

Totes les propietats de la distribució de Bates (moments, funció característica,....) es dedueixen de les corresponents propietats de les distribucions uniformes i de la independència de $U_1,\dots ,U_n$.

Generalització

Com a la secció anterior, designem per $f_{M_n}(x)$ la funció de densitat de Bates

Siguin $V_1,\dots ,V_n$ variables aleatòries independents, amb distribució uniforme en l'interval $[a,b]$, amb $a<b$, sigui $f_{M_n}(x;a,b)$ la funció de densitat de la mitjana $\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{V}_n$ aleshores $$f_{M_n}(x;a,b)=\frac{1}{b-a}{f}_{M_n}\left(\frac{x-a}{b-a}\right),x\in [a,b].$$

Aproximació normal

Tal com mostra el gràfic del principi de la pàgina, a l'augmentar $n$, la distribució de Bates s'assembla cada cop més a una distribució normal. Això és degut al fet que podem aplicar el teorema central del límit. Concretament, considerem el cas general que hem considerat a l'apartat anterior amb $V_1,\dots ,V_n$ amb distribució uniforme en l'interval $[a,b]$, i $$M_n=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{V}_j\text{i}{S}_n=\sum _{j=1}^n{V}_j.$$Atès que $$E[V_j]=\frac{a+b}{2}\text{i}\text{Var}(V_j)=\frac{(b-a{)}^2}{12},$$tindrem que $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{12n}\frac{M_n-(a+b)/2}{b-a}=Z,\text{en distribució},$$on $Z$ te una distribució normal estàndard $𝒩(0,1)$ . També es diu que $M_n$ és asimptòticament normal amb mitjana $(a+b)/2$ i variància $(b-a{)}^2/(12n)$ : $$M_n\sim 𝒜𝒩(\frac{a+b}{2},\frac{(b-a{)}^2}{12n}).$$

El cas de Lobatxevski

Lobatxevski considera el cas $b=1$ i $a=-1$ , és a dir, les variables de partida tenen distribució uniforme a l'interval $[-1,1]$, que interpreta com els errors en prendre mesures repetides de determinada quantitat (en unes unitats no especificades). Llavors la densitat de la seva mitjana és$$f_{M_n}(x;-1,1)=\frac{n}{2^n(n-1)!}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(nx+n-2k{)}_{+}^{n-1},x\in [-1,1].$$ Vegeu Renyi per a l'expressió de la densitat de la suma de variables independents uniformes en [-1,1].

D'acord amb Maistrov , Lobatxevski tenia interès en aquesta distribució perquè volia estimar, tenint en compte els errors de mesura, si la suma dels angles d'un gran triangle astronòmic era menor que $180^{\circ }$, amb la qual cosa es tindria una prova que la geometria de l'univers era no euclidiana hiperbòlica. Vegeu Brylevskaya.

Vegeu també

• Distribució d'Irwin-Hall
• Distribució normal
• Teorema del límit central
• Distribució uniforme contínua

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre