Mostra la font per a Grup cíclic

Un [[grup (matemàtiques)|grup]] és '''cíclic''' si pot ser generat per algun element. Això vol dir que hi ha, almenys, un element ''g'' del grup, que es diu generador de manera que tots els elements del grup són de la forma ''n g'' (en notació additiva) o ''g''<sup>''n''</sup> (en notació multiplicativa), per un cert [[nombre enter]] ''n''. Naturalment, 0 = 0 ''g'' i ''g'' = 1 ''g'' (en notació additiva) o <math>1 = g^{0}</math> i <math>g = g^{1}</math> (en notació multiplicativa).

== Exemples ==
* L'exemple més obvi és el '''grup additiu''' de l'[[anell (matemàtiques)|anell]] <math>\mathbb Z</math> dels nombres enters: es tracta d'un grup cíclic [[infinit]] i <math>1</math> i <math>-1</math> en són els únics generadors.

* També són cíclics tots '''grups additius''' dels anells <math>\Z / (n)</math> (també escrit ℤ/''n''ℤ) de [[classe d'equivalència|classes]] de [[Residu (anàlisi complexa)|residu]] mòdul ''n'', és a dir, de classes de [[congruència sobre els enters]]. En aquest cas es tracta de grups [[finit]]s.

* En canvi, els '''grups multiplicatius''' de les [[unitat algebraica|unitat]]s dels anells <math>\Z / (n)</math> són cíclics si, i només si, el nombre <math>n</math> és d'una d'aquestes quatre formes: 2, 4, ''p''<sup>''k''</sup> o 2''p''<sup>''k''</sup>. En la [[teoria de nombres]] tradicional, els generadors dels grups multiplicatius de les unitats dels anells <math>\Z / (n)</math> es diuen [[arrel primitiva|arrels primitives]] mòdul ''n''.

* No cal dir que el [[grup trivial]] és cíclic.

== Estructura ==
* El fet més important quant als grups cíclics és que qualsevol grup cíclic infinit és [[isomorf]] al grup additiu de l'anell ℤ dels [[nombres enters]]. A més, qualsevol grup cíclic finit d'[[ordre d'un grup|ordre]] ''n'' és isomorf al grup additiu de ℤ/''n''ℤ de [[congruència sobre els enters|congruències]] mòdul ''n''.
* Això implica que l'estudi dels grups cíclics es redueix a l'estudi dels grups additius de ℤ i ℤ/''n''ℤ.
* D'altra banda, tot grup abelià finitament generat és isomorf al [[producte directe]] d'un nombre finit de grups cíclics.

== Propietats ==
* De l'isomorfisme mencionat abans en resulta que tot grup cíclic és un grup [[grup abelià|abelià]].
* Tot grup d'ordre un [[nombre primer]] és cíclic.
* Tots els [[subgrup]]s d'un grup cíclic són cíclics. Si <math>\mathbf{G}</math> és un grup cíclic d'ordre <math>n</math>, aleshores, per cada [[divisor]] <math>d</math> de <math>n</math> hi ha exactament un subgrup d'ordre <math>d</math>, el qual, si <math>g</math> és un generador de <math>\mathbf{G}</math>, és generat per <math>g^{\frac{n}{d}}</math>. El grup <math>\mathbf{G}</math> no té cap altre subgrup d'ordre <math>d</math>.
* Tot [[Grup quocient|quocient]] d'un grup cíclic és cíclic.
* Sigui <math>g</math> és un generador d'un cert grup cíclic <math>\mathbf{G}</math> d'ordre <math>n</math>. Aleshores <math>g^k</math> també n'és un generador si, i només si, hi ha <math>m \in \mathbb Z</math> que fa <math>g^{km} = g</math>. Aleshores <math>km \equiv 1 \pmod{n}</math>.
* Si <math>\mathbf{G}</math> és un grup cíclic d'ordre <math>n</math>, aleshores té <math>\phi(n)</math> generadors (<math>\phi</math> és la [[funció Fi d'Euler]]).
* Siguin <math>\mathbf{G}_1</math> i <math>\mathbf{G}_2</math> dos grups d'ordres respectius <math>n_1</math> i <math>n_2</math>. Aleshores, <math>\mathbf{G}_1 \times \mathbf{G}_2</math> és cíclic si, i només sí, <math>\mathbf{G}_1</math> i <math>\mathbf{G}_2</math> ho són i <math>\mbox{m.c.d.}\left(n_1, n_2\right) = 1</math>.
* Tot subgrup finit del grup multiplicatiu d'un [[cos (matemàtiques)|cos]] és cíclic.

== Referències ==
Article ''[https://planetmath.org/cyclicgroup cyclic group]'' a '''[http://planetmath.org PlanetMath.org]'''.

{{ORDENA:Grup Ciclic}}
[[Categoria:Teoria de grups]]