Grup cíclic

Un grup és cíclic si pot ser generat per algun element. Això vol dir que hi ha, almenys, un element g del grup, que es diu generador de manera que tots els elements del grup són de la forma n g (en notació additiva) o gⁿ (en notació multiplicativa), per un cert nombre enter n. Naturalment, 0 = 0 g i g = 1 g (en notació additiva) o $1=g^0$ i $g=g^1$ (en notació multiplicativa).

Exemples

• L'exemple més obvi és el grup additiu de l'anell $\mathbb{Z}$ dels nombres enters: es tracta d'un grup cíclic infinit i $1$ i $-1$ en són els únics generadors.

• També són cíclics tots grups additius dels anells $\mathbb{Z}/(n)$ (també escrit ℤ/nℤ) de classes de residu mòdul n, és a dir, de classes de congruència sobre els enters. En aquest cas es tracta de grups finits.

• En canvi, els grups multiplicatius de les unitats dels anells $\mathbb{Z}/(n)$ són cíclics si, i només si, el nombre $n$ és d'una d'aquestes quatre formes: 2, 4, p^k o 2p^k. En la teoria de nombres tradicional, els generadors dels grups multiplicatius de les unitats dels anells $\mathbb{Z}/(n)$ es diuen arrels primitives mòdul n.

• No cal dir que el grup trivial és cíclic.

Estructura

• El fet més important quant als grups cíclics és que qualsevol grup cíclic infinit és isomorf al grup additiu de l'anell ℤ dels nombres enters. A més, qualsevol grup cíclic finit d'ordre n és isomorf al grup additiu de ℤ/nℤ de congruències mòdul n.
• Això implica que l'estudi dels grups cíclics es redueix a l'estudi dels grups additius de ℤ i ℤ/nℤ.
• D'altra banda, tot grup abelià finitament generat és isomorf al producte directe d'un nombre finit de grups cíclics.

Propietats

• De l'isomorfisme mencionat abans en resulta que tot grup cíclic és un grup abelià.
• Tot grup d'ordre un nombre primer és cíclic.
• Tots els subgrups d'un grup cíclic són cíclics. Si $𝐆$ és un grup cíclic d'ordre $n$, aleshores, per cada divisor $d$ de $n$ hi ha exactament un subgrup d'ordre $d$, el qual, si $g$ és un generador de $𝐆$, és generat per $g^{\frac{n}{d}}$. El grup $𝐆$ no té cap altre subgrup d'ordre $d$.
• Tot quocient d'un grup cíclic és cíclic.
• Sigui $g$ és un generador d'un cert grup cíclic $𝐆$ d'ordre $n$. Aleshores $g^k$ també n'és un generador si, i només si, hi ha $m\in \mathbb{Z}$ que fa $g^{km}=g$. Aleshores $km\equiv 1(\mathrm{mod}n)$.
• Si $𝐆$ és un grup cíclic d'ordre $n$, aleshores té $\varphi (n)$ generadors ($\varphi$ és la funció Fi d'Euler).
• Siguin ${𝐆}_1$ i ${𝐆}_2$ dos grups d'ordres respectius $n_1$ i $n_2$. Aleshores, ${𝐆}_1\times {𝐆}_2$ és cíclic si, i només sí, ${𝐆}_1$ i ${𝐆}_2$ ho són i $\text{m.c.d.}(n_1,n_2)=1$.
• Tot subgrup finit del grup multiplicatiu d'un cos és cíclic.

Referències

Article cyclic group a PlanetMath.org.