Mostra la font per a Mòdul

{{Falten referències}}
{{polisèmia}}
Un '''''A''-mòdul''' és una [[estructura algebraica]] que involucra un [[anell_(matemàtiques)|anell]] '''''A''''' i un [[grup abelià]]. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'[[espai vectorial]] en la qual el [[cos_(matemàtiques)|cos]] d'escalars és substituït per un anell.

== A-mòduls per l'esquerra ==
Sigui <math>A\,</math> un anell i <math>M\,</math> un grup abelià. El grup <math>M\,</math> té estructura de '''<math>A</math>-mòdul per l'esquerra''' si l'anell <math>A\,</math> opera linealment per l'esquerra sobre els elements de <math>M\,</math>, és a dir, si hi ha una [[operació externa]] de <math>A\,</math> sobre <math>M\,</math>:
:<math>\begin{array}[c]{ccc}
A \times M & \longrightarrow & M \\
(\lambda, x) & \longmapsto & \lambda x \\
\end{array}
</math>

amb les condicions de linealitat

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|<math>\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y \,</math>
|-
|align=center|<math>(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x \,</math>
|-
|align=center|<math>(\lambda \mu) x = \lambda (\mu x)\,</math>
|-
|}

per a <math>\lambda, \mu \in A</math> i <math>x, y \in M</math>. Si, a més, l'anell té [[unitat algebraica|unitat]], es demana que

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|<math>1 x = x\,</math>
|-
|}

== A-mòduls per la dreta ==
Si l'operació externa és per la dreta,
:<math>\begin{array}[c]{ccc}
M \times A & \longrightarrow & M \\
(x, \lambda) & \longmapsto & x \lambda \\
\end{array}
</math>

amb les corresponents condicions de linealitat:

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|<math>(x + y) \lambda = x \lambda + y \lambda \,</math>
|-
|align=center|<math>x (\lambda + \mu) = x \lambda + x \mu \,</math>
|-
|align=center|<math>x (\lambda \mu) = (x \lambda) \mu \,</math>
|-
|}

aleshores es tracta d'un '''<math>A</math>-mòdul per la dreta'''.

== A-mòduls bilàters ==
Si l'anell <math>A</math> és [[commutatiu]], aleshores és possible la identificació <math>\lambda x = x \lambda</math>, perquè les condicions <math>(\lambda \mu) x = \lambda (\mu x)\,</math> i <math>x (\lambda \mu) = (x \lambda) \mu \,</math> ja no són contradictòries. Aleshores <math>M</math> té estructura de '''<math>A</math>-mòdul bilàter''' o, simplement, d''''<math>A</math>-mòdul'''. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un <math>A</math>-mòdul per l'esquerra.

== Exemples ==
* Si <math>A</math> és un anell, ell mateix es pot considerar com a <math>A</math>-mòdul de manera natural:
::<math>\begin{array}[c]{ccc}
A \times A & \longrightarrow & A \\
(x, y) & \longmapsto & xy \\
\end{array}
</math>

* Els grups commutatius són <math>\mathbb{Z}</math>-mòduls. En efecte, si <math>G</math> és un grup commutatiu (notació additiva) i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, l'operació externa de <math>\mathbb{Z}</math> sobre <math>G</math> donada per:
::<math>\begin{array}[c]{ccc}
\mathbb{Z} \times G & \longrightarrow & G \\
(n, g) & \longmapsto & 
\begin{cases}
\overbrace{ g + g + \cdots + g }^{n}, \mbox{ si } n > 0 \\
0, \mbox{ si } n = 0 \\
-(\overbrace{ g + g + \cdots + g }^{n}), \mbox{ si } n < 0
\end{cases}
\\
\end{array}
</math>
:dota el grup <math>G</math> d'una estructura de <math>\mathbb{Z}</math>-mòdul.

* Els espais vectorials sobre un cos <math>K</math> són <math>K</math>-mòduls.

* Si <math>\operatorname{Hom}_{A}(E)</math> és l'anell d'[[endomorfisme]]s d'un <math>A</math>-mòdul <math>M</math>, l'operació externa
::<math>\begin{array}[c]{ccc}
\operatorname{Hom}_A(E) \times M & \longrightarrow & M \\
(\varphi, x) & \longmapsto & \varphi(x) \\
\end{array}
</math>
:fa que <math>M</math> es pugui considerar un <math>\operatorname{Hom}_{A}(E)</math>-mòdul.

* Si <math>A</math> és un anell i <math>\mathfrak{a}\,</math> n'és un [[ideal (matemàtiques)|ideal]] (per l'esquerra), aleshores el propi <math>\mathfrak{a}\,</math>, amb l'operació
::<math>\begin{array}[c]{ccc}
A \times \mathfrak{a} & \longrightarrow & \mathfrak{a} \\
(x, a) & \longmapsto & xa \\
\end{array}
</math>
:és un <math>A</math>-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot <math>a \in \mathfrak{a}</math> i tot <math>x \in A</math>, el producte <math>xa</math> pertany a <math>\mathfrak{a}\,</math>.

{{Autoritat}}
{{Viccionari-lateral|mòdul}}

{{ORDENA:Modul}}
[[Categoria:Teoria d'anells]]
[[Categoria:Estructures algebraiques]]
[[Categoria:Aritmètica modular]]