Mòdul

Plantilla:Falten referències Plantilla:Polisèmia Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars és substituït per un anell.

A-mòduls per l'esquerra

Sigui $A$ un anell i $M$ un grup abelià. El grup $M$ té estructura de $A$-mòdul per l'esquerra si l'anell $A$ opera linealment per l'esquerra sobre els elements de $M$, és a dir, si hi ha una operació externa de $A$ sobre $M$:

$\begin{array}{ccc}A\times M& ⟶& M\\ (\lambda ,x)& ⟼& \lambda x\end{array}$

amb les condicions de linealitat

$\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y$

$(\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x$

$(\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)$

per a $\lambda ,\mu \in A$ i $x,y\in M$. Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

$1x=x$

A-mòduls per la dreta

Si l'operació externa és per la dreta,

$\begin{array}{ccc}M\times A& ⟶& M\\ (x,\lambda )& ⟼& x\lambda \end{array}$

amb les corresponents condicions de linealitat:

$(x+y)\lambda =x\lambda +y\lambda$

$x(\lambda +\mu )=x\lambda +x\mu$

$x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu$

aleshores es tracta d'un $A$-mòdul per la dreta.

A-mòduls bilàters

Si l'anell $A$ és commutatiu, aleshores és possible la identificació $\lambda x=x\lambda$, perquè les condicions $(\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)$ i $x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu$ ja no són contradictòries. Aleshores $M$ té estructura de $A$-mòdul bilàter o, simplement, d'$A$-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un $A$-mòdul per l'esquerra.

Exemples

• Si $A$ és un anell, ell mateix es pot considerar com a $A$-mòdul de manera natural:

$\begin{array}{ccc}A\times A& ⟶& A\\ (x,y)& ⟼& xy\end{array}$

• Els grups commutatius són $\mathbb{Z}$-mòduls. En efecte, si $G$ és un grup commutatiu (notació additiva) i $n\in \mathbb{Z}$, l'operació externa de $\mathbb{Z}$ sobre $G$ donada per:

$\begin{array}{ccc}\mathbb{Z}\times G& ⟶& G\\ (n,g)& ⟼& \{\begin{array}{c}\stackrel{n}{\overbrace{g+g+\cdots +g}},\text{ si }n>0\\ 0,\text{ si }n=0\\ -(\stackrel{n}{\overbrace{g+g+\cdots +g}}),\text{ si }n<0\end{array}\end{array}$

dota el grup $G$ d'una estructura de $\mathbb{Z}$-mòdul.

• Els espais vectorials sobre un cos $K$ són $K$-mòduls.

• Si ${\mathrm{Hom}}_A(E)$ és l'anell d'endomorfismes d'un $A$-mòdul $M$, l'operació externa

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{Hom}}_A(E)\times M& ⟶& M\\ (\phi ,x)& ⟼& \phi (x)\end{array}$

fa que $M$ es pugui considerar un ${\mathrm{Hom}}_A(E)$-mòdul.

• Si $A$ és un anell i $𝔞$ n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi $𝔞$, amb l'operació

$\begin{array}{ccc}A\times 𝔞& ⟶& 𝔞\\ (x,a)& ⟼& xa\end{array}$

és un $A$-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot $a\in 𝔞$ i tot $x\in A$, el producte $xa$ pertany a $𝔞$.