Mostra la font per a Nombre e

{{TÍTOL:Nombre ''e''}}
{{confusió|Constant d'Euler-Mascheroni}}
{{Infotaula nombre
| factoritzacio = No
| numeral_roma = No
| binari = No
| hexadecimal = No
}}
[[Fitxer:hyperbola E.svg|miniatura|El gràfic {{nowrap|1=''y''=1/''x''}}, i ''e'' és el nombre que fa l'àrea igual a 1.]]
La [[constant matemàtica]] '''''e''''' és la base dels [[logaritme natural|logaritmes naturals]],<ref>{{ref-llibre|títol=Calculus with Analytic Geometry |edició=illustrated |nom1=Earl William |cognom1=Swokowski |editorial=Taylor & Francis |any=1979 |isbn=978-0-87150-268-1 |pàgina=370 |url=https://books.google.cat/books?id=gJlAOiCZRnwC}} [https://books.google.cat/books?id=gJlAOiCZRnwC&pg=PA370 Extract of page 370]</ref><ref>{{ref-web|títol=e - Euler's number|url=https://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html|consulta=2020-08-10|website=www.mathsisfun.com}}</ref> és l'únic nombre el logaritme natural del qual és 1. És considerat el nombre per excel·lència del [[Càlcul infinitesimal|càlcul]] de la mateixa manera que el [[Nombre π|nombre <math>\pi</math>]]  ho és de la [[geometria]]. El nombre '''e''' s'anomena a vegades '''constant d'Euler''', en honor del matemàtic [[Suïssa|suís]] [[Leonhard Euler]] i també '''constant de Napier''',<ref name=:1>{{ref-web |cognom=Weisstein |nom=Eric W. |títol=e |url=https://mathworld.wolfram.com/e.html |consulta=10 agost 2020 |editor=mathworld |llengua=anglès}}</ref> en honor del matemàtic [[Escòcia|escocès]] [[John Napier]] que va introduir els [[logaritme]]s.

El número ''e'' té una importància eminent en matemàtiques<ref>{{ref-llibre|títol= An Introduction to the History of Mathematics|url = https://archive.org/details/introductiontohi00eves_0|url-access = registration|autor= Howard Whitley Eves|any= 1969|editorial= Holt, Rinehart & Winston|isbn =978-0-03-029558-4}}</ref> al costat de 0, 1, [[Nombre_π|{{math|''π''}}]] i [[Nombre imaginari|{{math|''i''}}]].<ref>{{ref-llibre|títol=Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics |edició=illustrated |nom1=Robinn |cognom1=Wilson |editorial=Oxford University Press |any=2018 |isbn=9780192514059 |pàgina=(preface) |url=https://books.google.be/books?id=345HDwAAQBAJ}}</ref><ref>{{ref-llibre|títol=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number |edició=illustrated |nom1=Alfred S. |cognom1=Posamentier |nom2=Ingmar |cognom2=Lehmann |editorial=Prometheus Books |any=2004 |isbn=9781591022008 |pàgina=68 |url=https://books.google.be/books?id=QFPvAAAAMAAJ}}</ref> Els cinc apareixen en una formulació de la [[identitat d'Euler]] i tenen un paper important i recurrent en les matemàtiques. Igual que la constant ''π'', ''e'' és [[nombre irracional|irracional]] (és a dir, no es pot representar com una proporció de nombres enters) i [[Nombre transcendent|transcendent]] (és a dir, no és una arrel de cap polinomi diferent de zero amb coeficients racionals). Les primeres xifres de la seva expressió decimal il·limitada són 2,7182818284590.<ref>{{GEC|0100103|e}}</ref> És un nombre present en múltiples camps de la ciència i la tècnica. Intervé, per exemple en el càlcul de la velocitat de buidatge d'un dipòsit d'aigua, en el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil.

== Definició ==
El nombre '''''e''''' es defineix com el límit de la successió <math>n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>.<ref name=":1"/> Aquest límit existeix, ja que la successió és creixent i limitada per sobre.

<math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

Aquesta expressió del nombre '''e''' apareix en l'estudi de l'[[interès compost]]. El nombre '''e''' apareix en múltiples camps de les matemàtiques, des de la [[teoria de la probabilitat]] a l'[[anàlisi complexa]]. El seu valor aproximat per truncament als 50 decimals és 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

El nombre '''''e''''' es pot definir també mitjançant la [[sèrie infinita]]

:: <math>e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
 + {1 \over 4!} + \cdots</math>

on ''n''! és el [[factorial]] de ''n''. Aquesta sèrie convergeix puix que hom té

: <math>1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 3,</math>

és a dir, el [[desenvolupament en sèrie]] de ''e'' és majorat mitjançant una [[sèrie geomètrica]] que és convergent perquè té una raó igual a 1/2.

Finalment, es pot considerar ''e'' com a l'única solució positiva ''x'' de l'[[equació integral]]

: <math>\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.</math>

Es pot [[demostració|demostrar]] que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial <math>x\longmapsto e^x</math>és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per constants) funció que és igual a la seva [[derivada]], i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La [[fracció contínua]] de ''e'' conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

:<math> e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] \,</math>

== Història ==
Les primeres referències a la constant es van publicar el [[1618]] a la taula d'un apèndix d'un treball sobre logaritmes de [[John Napier]].<ref>{{ref-web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |títol=The number ''e'' |editor=MacTutor History of Mathematics |nom1=J J |cognom1=O'Connor |nom2=E F |cognom2=Robertson}}</ref> Tanmateix no contenia la constant en si, sinó simplement una llista de logaritmes calculats a partir de la constant. Se suposa que la taula va ser escrita per [[William Oughtred]]. El propi descobriment de la constant s’acredita a [[Jacob Bernoulli]] el [[1683]],<ref>{{ref-llibre|nom=Carl |cognom=Boyer |nom2=Uta |cognom2=Merzbach |títol=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye |pàgina=419 |editorial=Wiley |any=199 1|edició=2a edició}}</ref> que va intentar trobar el valor de la següent expressió (que és igual a e):

:<math>\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n.</math>

El primer ús conegut de la constant, representat per la lletra ''b'', fou en correspondència de [[Gottfried Leibniz]] a [[Christiaan Huygens]] el [[1690]] i el [[1691]].<ref>{{ref-web|url=https://leibniz.uni-goettingen.de/files/pdf/Leibniz-Edition-III-5.pdf |títol=Sämliche Schriften Und Briefe |cognom=Leibniz |nom=Gottfried Wilhelm |data=2003 |llengua=alemany}}</ref> [[Leonhard Euler]] va introduir la lletra ''e'' com a base per als logaritmes naturals, escrivint en una carta a Christian Goldbach el [[25 de novembre]] de [[1731]].<ref>{{ref-llibre|cognom=Remmert |nom=Reinhold |títol=Theory of Complex Functions |pàgina=136 |editorial=Springer-Verlag |any=1991 |isbn=978-0-387-97195-7}}</ref> Euler va començar a utilitzar la lletra ''e'' per a la constant el [[1727]] o el [[1728]], en un document inèdit sobre les forces explosives en canons, mentre que la primera aparició d{{'}}''e'' en una publicació va ser a ''Mechanica, sive motus scientia analytica exposita'' (1736).

== Propietats ==
=== Càlcul ===
Com en la motivació, la [[funció exponencial]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} és important en part perquè és l'única funció ([[llevat de]] multiplicació per una constant {{mvar|K}}) que és igual a la seva pròpia [[derivada]]:

:<math>\frac{d}{dx}Ke^x = Ke^x,</math>

i per tant també és igual a la seva pròpia [[primitiva]]:

:<math>\int Ke^x\,dx = Ke^x + C .</math>

Equivalentment, la família de funcions

:<math>y(x) = Ke^x</math>

on {{mvar|K}} és un nombre complex qualsevol, és la solució completa a l'[[equació diferencial]]

:<math>y' = y .</math>

=== Desigualtats ===
[[Fitxer:Exponentials vs x+1.pdf|miniatura|Funcions exponencials {{math|''y'' {{=}} 2<sup>''x''</sup>}} i {{math|''y'' {{=}} 4<sup>''x''</sup>}} intersecten la gràfica de {{math|''y'' {{=}} ''x'' + 1}}, respectivament, a {{math|''x'' {{=}} 1}} i a {{math|''x'' {{=}} -1/2}}. El nombre {{math|''e''}} és l'única base tal que {{math|''y'' {{=}} ''e''<sup>''x''</sup>}} intersecta només a {{math|''x'' {{=}} 0}}. Es pot inferir que {{math|''e''}} es troba entre el 2 i el 4.]]
El nombre {{math|''e''}} és l'únic nombre real tal que

:<math>\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < e < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+1}</math>

per tot {{math|''x''}} positiu.<ref>{{ref-llibre|cognom1=Dorrie|nom1=Heinrich|títol=100 Great Problems of Elementary Mathematics|data=1965|editorial=Dover|pàgines=44–48}}</ref>

També existeix la següent desigualtat

:<math>e^x \ge x + 1</math>

per tot {{math|''x''}} real, i hi ha igualtat [[si i només si]] {{math|''x'' {{=}} 0}}. A més, {{math|''e''}} és l'única base de l'exponencial per la qual la desigualtat {{math|''a''<sup>''x''</sup> ≥ ''x'' + 1}} és vàlida per tot {{math|''x''}}.<ref>Per un exercici estàndard de càlcul en què s'utilitza el [[teorema del valor mitjà]]; vegi's per exemple Apostol (1967) ''Calculus'', §&nbsp;6.17.41.</ref> Això és un cas límit de la [[desigualtat de Bernoulli]].

=== Funcions de tipus exponencial ===
[[Fitxer:Xth root of x.svg|miniatura|El [[Màxims i mínims|màxim global]] de {{math|{{arrel|''x''|''x''}}}} {{nowrap|es dona a {{math|''x'' {{=}} ''e''}}.}}]]

El [[Problema de càlcul de Steiner|problema de Steiner]] consisteix a trobar el [[Màxims i mínims|màxim global]] de la funció

:<math> f(x) = x^\frac{1}{x} .</math>

Aquest màxim es dóns precisament a {{math|''x'' {{=}} ''e''}}. (Es pot comprovar que la derivada de {{math|ln ''f''(''x'')}} és zero només per aquest valor de &nbsp;{{mvar|x}}.)

Similarment, {{math|''x'' {{=}} 1/''e''}} és quan hi ha el [[màxims i mínims|mínim global]] de la funció

:<math> f(x) = x^x .</math>

La tetració infinita

:<math> x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} </math> o <math>{^\infty}x</math>

congergeix si i només si {{math|''x'' ∈ [(1/''e'')<sup>''e''</sup>, ''e''<sup>1/''e''</sup>] ≈ [0.06599, 1.4447] }},<ref>{{Cite OEIS|A073230|Decimal expansion of (1/e)^e}}</ref><ref>{{Cite OEIS|A073229|Decimal expansion of e^(1/e)}}</ref> demostrat per un teorema de [[Leonhard Euler]].<ref>Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." ''Acta Acad. Scient. Petropol. 2'', 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. ''Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae''. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. ([http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E532.pdf facsimile])</ref>

=== Teoria de nombres ===
El nombre real {{mvar|e}} és [[nombre irracional|irracional]]. [[Leonhard Euler|Euler]] ho va demostrar observant que la seva expansió en [[fracció contínua]] no acaba mai.<ref>{{ref-web|url=http://vanilla47.com/PDFs/Leonhard%20Euler/How%20Euler%20Did%20It%20by%20Ed%20Sandifer/Who%20proved%20e%20is%20irrational.pdf|títol=How Euler Did It: Who proved {{mvar|e}} is Irrational?|cognom=Sandifer|nom=Ed|data=Feb 2006|editor=MAA Online|consulta=2010-06-18|url-status=dead|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20140223072640/http://vanilla47.com/PDFs/Leonhard%20Euler/How%20Euler%20Did%20It%20by%20Ed%20Sandifer/Who%20proved%20e%20is%20irrational.pdf|arxiudata=2014-02-23}}</ref> (Vegi's també la [[demostració que e és irracional]] de [[Joseph Fourier|Fourier]].)

A més, a partir del [[teorema de Lindemann-Weierstrass]], {{mvar|e}} és [[nombre transcendent|transcendent]], en el sentit que no és solució de cap equació polinomial no-sero amb coeficients racionals. Va ser el primer nombre del qual es va demostrar aquesta propietat sense haver estat específicament demostrat amb aquest propòsit (compari's amb el [[nombre de Liouville]]); la demostració va ser a càrrec de [[Charles Hermite]] l'any 1873.

S'ha conjecturat que {{mvar|e}} és un [[nombre normal|normal]], en el sentit que quan {{math|''e''}} s'expressa en qualsevol [[Base (aritmètica)|base]] els possibles dígits en aquella base estan distribuïts uniformement (apareixen en igual probabilitat en qualsevol seqüència d'una longitud donada).

S'ha conjecturat que {{mvar|e}} no és un període de Kontsevich-Zagier.<ref>{{ref-web|cognom=Kontsevich |nom=Maxim Kontsevich |títol=Periods |url=https://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf}}</ref>

=== Nombres complexos ===
Es pot escriure la [[funció exponencial]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} com una expansió en [[sèrie de Taylor]]

:<math> e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.</math>

Com que la sèrie és [[Convergència (sèries)|convergent]] per tot valor [[nombre complex|complex]] de {{mvar|x}}, s'utilitza habitualment per estendre la definició de {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} als nombres complexos. Això, juntament amb la sèrie de Taylor per al [[funcions trigonomètriques|{{math|sin}} i {{math|cos ''x''}}]], permet derivar la [[fórmula d'Euler]]:

:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x ,</math>

que és vàlid per tot valor complex de {{math|''x''}}. El cas particular amb {{math|''x'' {{=}} ''[[Nombre pi|π]]''}} és la [[identitat d'Euler]]:

:<math>e^{i\pi} + 1 = 0 ,</math>

de la qual segueix que, en la branca principal del logaritme,

:<math>\ln (-1) = i\pi .</math>

A més, utilitzant les lleis de l'exponenciació,

:<math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx) ,</math>

que és la [[fórmula de De Moivre]].

Es poden deduir les expressions de {{math|cos ''x''}} i {{math|sin ''x''}} en termes de la [[funció exponencial]] a partir de la sèrie de Taylor:
:<math>
 \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} , \qquad
 \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.
</math>

L'expressió
:<math>\cos x + i \sin x</math>
és sovint abreviada com {{math|cis(''x'')}}.

=== Dígits coneguts ===
El nombre dels dígits coneguts de {{mvar|e}} ha augmentat substancialment durant les darreres dècades. Això es deu tant a la millora dels ordinadors així com la dels algorismes.<ref>Sebah, P. and Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html The constant {{mvar|e}} and its computation]</ref><ref>Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.html Reported large computations with PiFast]</ref>

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ Nombre de dígits decimals coneguts de {{mvar|e}}
! Data || Dígits decimals || Càlcul fet per
|-
| 1690 ||align=right| 1 || [[Jacob Bernoulli]]<ref name="Bernoulli, 1690" >{{Ref-llibre|títol=Acta eruditorum: anno ... publicata|url=https://books.google.cat/books?id=s4pw4GyHTRcC&pg=PA222&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|editorial=prostant apud Joh. Grossium ... & J. F. Gleditschium|data=1690|llengua=la|nom=Johann Grosse|cognom=II (Héritiers)|nom2=Johann Friedrich Gleditsch|cognom2=II (Leipzig)|nom3=Otto|cognom3=Mencke|nom4=Johann Burkhard|cognom4=Mencke}}</ref>
|-
| 1714 ||align=right| 13 || [[Roger Cotes]]<ref>Roger Cotes (1714) "Logometria," ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''29''' (338) : 5–45; [https://archive.today/20140410203227/http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5324351035;view=2up;seq=16 see especially the bottom of page 10.] From page 10: ''"Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … "'' (Furthermore, by the same means, the ratio is between 2.718281828459… and 1, … )</ref>
|-
| 1748 ||align=right| 23 || [[Leonhard Euler]]<ref>Leonhard Euler, ''Introductio in Analysin Infinitorum'' (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, [https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n115 page 90.]</ref>
|-
| 1853 ||align=right| 137 || [[William Shanks]]<ref>William Shanks, ''Contributions to Mathematics'', ... (London, England: G. Bell, 1853), [https://books.google.cat/books?id=d-9ZAAAAcAAJ&pg=PA89 page 89.]</ref>
|-
| 1871 ||align=right| 205 || William Shanks<ref>William Shanks (1871) [https://books.google.cat/books?id=sclTAAAAcAAJ&pg=PA27 "On the numerical values of ''e'', log<sub>''e''</sub> 2, log<sub>''e''</sub> 3, log<sub>''e''</sub> 5, and log<sub>''e''</sub> 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals,"] ''Proceedings of the Royal Society of London'', '''20''' : 27–29.</ref>
|-
| 1884 ||align=right| 346 || J. Marcus Boorman<ref>J. Marcus Boorman (October 1884) [https://books.google.cat/books?id=mG8yAQAAMAAJ&pg=PA204 "Computation of the Naperian base,"] ''Mathematical Magazine'', '''1''' (12) : 204–205.</ref>
|-
| 1949 ||align=right| 2,010 || [[John von Neumann]] (a l'[[ENIAC]])
|-
| 1961 ||align=right| 100,265 || Daniel Shanks i John Wrench<ref name="We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program.">{{ref-publicació|autor=Daniel Shanks and John W Wrench|citació=We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program|títol=Calculation of Pi to 100,000 Decimals|publicació=Mathematics of Computation|volum= 16 |any=1962|exemplar=77|pàgines=76–99 (78)|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf|doi=10.2307/2003813|jstor=2003813}}</ref>
|-
| 1978 ||align=right| 116,000 || [[Steve Wozniak]] amb l'[[Apple II]]<ref name="wozniak198106">{{ref-notícia| url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981_06_BYTE_06-06_Operating_Systems#page/n393/mode/2up |títol=The Impossible Dream: Computing ''e'' to 116,000 Places with a Personal Computer |obra=BYTE |data=juny 1981 |consulta=18 octubre 2013 |autor=Wozniak, Steve |pàgines=392}}</ref>
|}

Des de 2010, la proliferació dels [[ordinador de taula|ordinadors de taula]] d'alta velocitat ha permès a aficionats calcular trilions de dígits de {{mvar|e}} en quantitats de temps acceptables. El 5 de desembre de 2020, es va fer un càlcul de rècord, trobant 31 415 926 535 897 (aproximadament {{mvar|π}} × 10<sup>13</sup>) dígits de {{mvar|e}}.<ref>{{ref-web|títol= e
 |autor= Alexander Yee
 | url=http://www.numberworld.org/digits/E/
}}</ref>

== Identitat d'Euler ==
{{article principal|Identitat d'Euler}}
La següent expressió, la [[identitat d'Euler]], que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

:<math>e^{i\pi}+1=0 \,\!</math>

Aquesta és un cas particular (amb ''x'' = 0 i ''y'' = π) de la [[fórmula d'Euler]]:

:<math>e^{x+i \cdot y} = e^x \cdot (\cos y + i \cdot \sin y)</math>

vàlida per a tot <math>x,y\in{\mathbb R}</math> (i de fet per a tot <math>x,y\in{\mathbb C}</math>).

== Asímptotes ==
El nombre ''e'' surt de manera natural en diferents problemes que involucren les [[Asímptota|asímptotes]]. N'és un exemple la [[fórmula de Stirling]] que es fa servir per a l'[[anàlisi asimptòtica]] de la [[funció factorial]], on els dos nombres ''e'' i ''[[Nombre π|π]]'' es troben involucrats:
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
Una conseqüència particular és:
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>.

== Implementació en informàtica ==
Es pot calcular una aproximació del nombre ''e'' amb ''n'' termes de la seqüència de Taylor citada. En [[C++]] tenim un codi com el següent:

<syntaxhighlight lang="cpp">
#include <iostream>
using namespace std;

double aproxima_e(int n) {
 //funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:
 // suma 1/fact(i) des de i=0 fins n
 //no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.
 if(n == 0) return 0;
 double facti = 1; //ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximent
 double s = 1;
 for(int i = 1; i < n; ++i) {
 facti *= i; 
 s += 1/double(facti); 
 }

 return s;
}

int main() {
 cout.setf(ios::fixed);
 cout.precision(10);

 int n;
 while(cin >> n) {
 cout << "Amb " << n << " terme(s) obtenim " << aproxima_e(n) << endl;
 }
}
</syntaxhighlight>

== Referències ==
{{Referències}}

{{Commonscat}}

{{ORDENA:Nombre E}}

{{Autoritat}}

[[Categoria:Constants matemàtiques|E]]