Mostra la font per a Vòrtex de Taylor-Green

En [[dinàmica de fluids]], el '''vòrtex de Taylor-Green''' és el flux d'un [[vòrtex]] que decau, que té una solció tancada de les [[equacions de Navier Stokes]] per a fluxos incompressibles en [[Sistema de coordenades cartesianes|coordenades cartesianes]]. Duu el nom del físic i matemàtic britànic [[Geoffrey Ingram Taylor]] i del seu col·laborador Albert E. Green.<ref name="TaGr">
[[G. I. Taylor|Taylor, G. I]]. and [[A. E. Green|Green, A. E.]], ''Mechanism of the Production of Small Eddies from Large Ones'', Proc. R. Soc. Lond. A, 158, 499–521 (1937).</ref>

[[Fitxer:Taylor-Green vortex vector plot.png|miniatura|<center>Gràfica dels vectors velocitat en un vòrtex de Taylor-Green</center>]]

== Obra original ==
En l'obra original de Taylor i Green,<ref name="TaGr"/> s'analitza un flux particular en tres dimensions espacials, amb tres components de velocitat <math>\mathbf{v}=(u,v,w)</math> en l'instant de temps <math>t=0</math> especificades com:
:<math>
u = A \cos ax \sin by \sin cz,
</math>

:<math>
v = B \sin ax \cos by \sin cz,
</math>

:<math>
w = C \sin ax \sin by \cos cz.
</math>

L'equació de continuïtat <math> \nabla \cdot \mathbf{v}=0</math> determina que <math>Aa+Bb+Cc=0</math>. El petita contribució del temps es troba a partir de la simplificació de les [[Equacions de Navier-Stokes#Casos particulars|equacions incompressibles de Navier–Stokes]] usant el flux inicial per donar una solució pas a pas a mesura que el temps avança.

Una solució exacta en dues dimensions es mostra més endavant.

== Equació de Navier-Stokes incompressibles ==
Les [[Equacions de Navier-Stokes#Casos particulars|equacions incompressibles de Navier–Stokes]] en absència de forces de cos, i en dues dimensions ve donada per:
:<math>
\frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial v}{\partial y} = 0,
</math>

:<math>
\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} =
-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right),
</math>

:<math>
\frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} =
-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right).
</math>
La primera d'aquestes equacions representa l'[[equació de continuïtat]] i les altres dues són les equacions de moment.

== Solució del vòrtex de Taylor–Green ==
En el domini <math>0 \le x,y \le 2\pi </math>, la solució ve donada per:

:<math>
u = \cos x \sin y \,F(t), \qquad \qquad v = -\sin x \cos y \, F(t),
</math>

on <math>F(t) = e^{-2\nu t}</math>, <math>\nu</math> és la [[Viscositat#Viscositat cinemàtica|viscositat cinemàtica]] del fluid. Seguint l'anàlisi de Taylor i Green<ref name="TaGr"/> en el cas bidimensional, i per <math>A=a=b=1</math>, s'adiu amb la solució exacta, si el terme exponencial s'expandeix en [[sèrie de Taylor]], és a dir <math>F(t) = 1 - 2\nu t + O(t^2)</math>.

El camp de pressió <math>p</math> pot ser obtingut substituint la solució de la velocitat en les equacions del moment i ve donat per:

:<math>
p = -\frac{\rho}{4} \left(\cos 2x + \cos 2y \right) F^2(t).
</math>

La funció de corrent de la solució del vòrtex de Taylor-Green, que satisfà <math> \mathbf{v} = \nabla \times \boldsymbol{\psi}</math> per la velocitat de flux <math>\mathbf{v}</math>, és:
:<math>
\boldsymbol{\psi} = -\cos x \cos y F(t)\, \hat{\mathbf{z}}.
</math>

De manera semblant, la [[vorticitat]], que satisfà <math> \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \nabla \times \mathbf{v} </math>, ve donada per:
:<math>
\boldsymbol{\mathbf{\omega}} = -2\cos x \cos y \,F(t) \hat{\mathbf{z}}.
</math>

La solució de Taylor-Green pot ser usada en la prova i validació de la precisió temporal dels algorismes de Navier-Stokes.<ref>
[[Alexandre Chorin|Chorin, A. J.]], ''Numerical solution of the Navier–Stokes equations'', Math. Comp., 22, 745–762 (1968).</ref><ref>[[John Kim (professor)|Kim, J]]. and [[Parviz Moin|Moin, P.]], ''Application of a fractional-step method to incompressible Navier–Stokes equations'', J. Comput. Phys., 59, 308–323 (1985).</ref>

== Referències ==
{{Referències}}

{{ORDENA:Taylor-Green vortex}}
[[Categoria:Aerodinàmica]]