Vòrtex de Taylor-Green

En dinàmica de fluids, el vòrtex de Taylor-Green és el flux d'un vòrtex que decau, que té una solció tancada de les equacions de Navier Stokes per a fluxos incompressibles en coordenades cartesianes. Duu el nom del físic i matemàtic britànic Geoffrey Ingram Taylor i del seu col·laborador Albert E. Green.

Gràfica dels vectors velocitat en un vòrtex de Taylor-Green

Obra original

En l'obra original de Taylor i Green, s'analitza un flux particular en tres dimensions espacials, amb tres components de velocitat $𝐯=(u,v,w)$ en l'instant de temps $t=0$ especificades com:

$u=A\cos ax\sin by\sin cz,$

$v=B\sin ax\cos by\sin cz,$

$w=C\sin ax\sin by\cos cz.$

L'equació de continuïtat $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=0$ determina que $Aa+Bb+Cc=0$. El petita contribució del temps es troba a partir de la simplificació de les equacions incompressibles de Navier–Stokes usant el flux inicial per donar una solució pas a pas a mesura que el temps avança.

Una solució exacta en dues dimensions es mostra més endavant.

Equació de Navier-Stokes incompressibles

Les equacions incompressibles de Navier–Stokes en absència de forces de cos, i en dues dimensions ve donada per:

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0,$

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+\nu (\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}),$

$\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}+\nu (\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}).$

La primera d'aquestes equacions representa l'equació de continuïtat i les altres dues són les equacions de moment.

Solució del vòrtex de Taylor–Green

En el domini $0\le x,y\le 2\pi$, la solució ve donada per:

$u=\cos x\sin yF(t),v=-\sin x\cos yF(t),$

on $F(t)=e^{-2\nu t}$, $\nu$ és la viscositat cinemàtica del fluid. Seguint l'anàlisi de Taylor i Green en el cas bidimensional, i per $A=a=b=1$, s'adiu amb la solució exacta, si el terme exponencial s'expandeix en sèrie de Taylor, és a dir $F(t)=1-2\nu t+O(t^2)$.

El camp de pressió $p$ pot ser obtingut substituint la solució de la velocitat en les equacions del moment i ve donat per:

$p=-\frac{\rho }{4}(\cos 2x+\cos 2y)F^2(t).$

La funció de corrent de la solució del vòrtex de Taylor-Green, que satisfà $𝐯=\mathrm{\nabla }\times \mathit{\psi }$ per la velocitat de flux $𝐯$, és:

$\mathit{\psi }=-\cos x\cos yF(t)\widehat{𝐳}.$

De manera semblant, la vorticitat, que satisfà $\mathit{\omega }=\mathrm{\nabla }\times 𝐯$, ve donada per:

$\mathit{\omega }=-2\cos x\cos yF(t)\widehat{𝐳}.$

La solució de Taylor-Green pot ser usada en la prova i validació de la precisió temporal dels algorismes de Navier-Stokes.