Nombre harmònic

El nombre harmònic $H_{n,1}$ amb $n=\lfloor x\rfloor$ (línia vermella) amb el seu límit asimptòtic $\gamma +\ln [x]$ (línia blava).

En matemàtiques, lPlantilla:'n-èsim nombre harmònic és la suma dels recíprocs dels primers n nombres naturals:

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}.$

Això és el mateix que n vegades l'invers de la mitjana harmònica d'aquests nombres naturals.

Els nombres harmònics s'han estudiat des de l'antiguitat i són importants en moltes branques de la teoria de nombres. A vegades s'anomenen vagament com sèrie harmònica. A més, estan estretament relacionats amb la funció zeta de Riemann i apareixen en l'expression d'algunes funcions especials.

Representació

La primera representació, en forma integral, la va donar Leonhard Euler: Plantilla:Equació Veiem que: Plantilla:Equació En resum Plantilla:Equació La qual cosa ja era evident per la definició en els nombres naturals.