Funció zeta de Riemann

La funció zeta de Riemann ζ(s) és una funció de variable complexa s definida, per a qualsevol s amb part real > 1, per

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

és a dir, és la sèrie de Dirichlet amb a = 1. Quan la part real de s és superior a 1, aquesta sèrie és convergent. Bernhard Riemann demostrà que la funció es pot estendre a una funció holomorfa definida per a tots els nombres complexos s amb s ≠ 1. Aquesta és la funció a la que es refereix la hipòtesi de Riemann i té una importància cabdal en teoria de nombres (especialment per la seva relació amb els nombres primers) i en diversos camps de la Física.

Alguns valors de ζ(s) per als primers nombres enters són:

$\zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots =\mathrm{\infty }$; que és la sèrie harmònica.

$\zeta (2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$; la sèrie objecte del problema de Basilea.

$\zeta (3)=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots =1.202...$; anomenada constant d'Apéry

$\zeta (4)=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$

$\zeta (5)=1+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{3^5}+\cdots =1.036...$

$\zeta (6)=1+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}+\cdots =\frac{{\pi }^6}{945}$

$\zeta (7)=1+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{3^7}+\cdots =1.0083...$

$\zeta (8)=1+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{3^8}+\cdots =\frac{{\pi }^8}{9450}$

$\zeta (9)=1+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+\cdots =1.0020...$

$\zeta (10)=1+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\cdots =\frac{{\pi }^{10}}{93555}$

Relació amb els nombres primers

La relació d'aquesta funció amb els nombres primers fou descoberta per Leonhard Euler, que trobà

$\zeta (s)=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}$

és a dir, que la funció zeta és igual a un producte infinit estès a tots els nombres primers p. En realitat, aquest resultat és conseqüència de la fórmula d'una sèrie geomètrica i del teorema fonamental de l'aritmètica.

Però a més, els zeros (o arrels) de la funció zeta, els punts on ζ(s) = 0, tenen una gran importància, perquè determinades integrals de camí que utilitzen la funció ln(1/ζ(s)) es poden fer servir per aproximar la funció de recompte de nombres primers, π(x) Plantilla:Commonscat Plantilla:Autoritat