Funció q-gamma

En matemàtiques, en la teoria q-anàleg, la funció q-gamma, o funció gamma bàsica, és una generalització de la funció gamma ordinària, i està molt estretament relacionada amb la funció gamma doble. Aquesta va ser introduïda per Plantilla:Harvtxt,

Es defineix com

${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=(1-q{)}^{1-x}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}=(1-q{)}^{1-x}\frac{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

quan $|q|<1$, i

${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\frac{(q^{-1};q^{-1}{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^{-x};q^{-1}{)}_{\mathrm{\infty }}}(q-1{)}^{1-x}{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2})}$

si $|q|>1$. Aquest (·;·)_∞ és el símbol q-Pochhammer infinit. Satisfà l'equació funcional

${\mathrm{\Gamma }}_q(x+1)=\frac{1-q^x}{1-q}{\mathrm{\Gamma }}_q(x)=[x{]}_q{\mathrm{\Gamma }}_q(x)$

Per a enters no negatius n,

${\mathrm{\Gamma }}_q(n)=[n-1{]}_q!$

on [·]_q ! és la funció q-factorial. Alternativament, això pot ser pres com una extensió de la funció q-factorial per al sistema de nombres reals.

La relació amb la funció gamma ordinària es fa explícita en el límit

$\underset{q\to 1\pm }{\lim }{\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\mathrm{\Gamma }(x).$

Fórmules tipus Raabe

A causa de I. Mező, existeix el q-anàleg de la fórmula Raabe, almenys si s'utilitza la funció de q-gamma quan $|q|>1$. Amb aquesta restricció

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\log {\mathrm{\Gamma }}_q(x)dx=\frac{\zeta (2)}{\log q}+\log \sqrt{\frac{q-1}{\sqrt[6]{q}}}+\log (q^{-1};q^{-1}{)}_{\mathrm{\infty }}(q>1).$

El Bachraoui considera el cas $0<q<1$ i ha demostrat que

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\log {\mathrm{\Gamma }}_q(x)dx=\frac{1}{2}\log (1-q)-\frac{\zeta (2)}{\log q}+\log (q;q{)}_{\mathrm{\infty }}(0<q<1).$

Valors especials

Són coneguts els següents valors especials:

${\mathrm{\Gamma }}_{e^{-\pi }}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{e^{-7\pi /16}\sqrt{e^{\pi }-1}}{2^{11/12}{\pi }^{3/4}\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}\sqrt[24]{4+3\sqrt{2}}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right),$

${\mathrm{\Gamma }}_{e^{-2\pi }}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{e^{-7\pi /8}\sqrt{e^{2\pi }-1}}{2\sqrt[8]{2}{\pi }^{3/4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right),$

${\mathrm{\Gamma }}_{e^{-4\pi }}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{e^{-7\pi /4}\sqrt{e^{4\pi }-1}}{2^{7/4}{\pi }^{3/4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right),$

${\mathrm{\Gamma }}_{e^{-8\pi }}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{e^{-7\pi /2}\sqrt{(\sqrt{2}-1)(e^{8\pi }-1)}}{4\sqrt[4]{2}{\pi }^{3/4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right).$

Aquests són els anàlegs de la fórmula clàssica $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$.

D'altra banda, els següents anàlegs de la identitat familiaritzada $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)=\sqrt{2}\pi$ són certs:

${\mathrm{\Gamma }}_{e^{-2\pi }}\left(\frac{1}{4}\right){\mathrm{\Gamma }}_{e^{-2\pi }}\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{e^{-29\pi /16}(e^{2\pi }-1)\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}{4{\pi }^{3/2}\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}\sqrt[24]{8+6\sqrt{2}}},$

${\mathrm{\Gamma }}_{e^{-4\pi }}\left(\frac{1}{4}\right){\mathrm{\Gamma }}_{e^{-4\pi }}\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{e^{-29\pi /8}(e^{4\pi }-1)\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}{2^{23/8}{\pi }^{3/2}},$

${\mathrm{\Gamma }}_{e^{-8\pi }}\left(\frac{1}{4}\right){\mathrm{\Gamma }}_{e^{-8\pi }}\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}{e}^{-29\pi /4}(e^{8\pi }-1)\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}{16{\pi }^{3/2}}.$

Un q-anàleg de la fórmula de Stirling per a $|q|<1$ està donada per

${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=[2{]}_{q^{}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\Gamma }}_{q^2}\left(\frac{1}{2}\right)(1-q{)}^{\frac{1}{2}-x}{e}^{\frac{\theta q^x}{1-q-q^x}},0<\theta <1.$

Un q-anàleg de la fórmula de multiplicació per a $|q|<1$ està donada per

${\mathrm{\Gamma }}_{q^n}\left(\frac{x}{n}\right){\mathrm{\Gamma }}_{q^n}\left(\frac{x+1}{n}\right)\cdots {\mathrm{\Gamma }}_{q^n}\left(\frac{x+n-1}{n}\right)=[n{]}_q^{\frac{1}{2}-x}{([2{]}_q{\mathrm{\Gamma }}_{q^2}^2\left(\frac{1}{2}\right))}^{\frac{n-1}{2}}{\mathrm{\Gamma }}_q(x).$

Referències

• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref[1]
• Plantilla:Citar ref