Funció q-gamma

En matemàtiques, en la teoria q-anàleg, la funció q-gamma, o funció gamma bàsica, és una generalització de la funció gamma ordinària, i està molt estretament relacionada amb la funció gamma doble. Aquesta va ser introduïda per Plantilla:Harvtxt,

Es defineix com

Γ_{q} (x) = (1 - q)^{1 - x} \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q^{n + x}} = (1 - q)^{1 - x} \frac{(q; q)_{\infty}}{(q^{x}; q)_{\infty}}

quan $| q | < 1$ , i

Γ_{q} (x) = \frac{(q^{- 1}; q^{- 1})_{\infty}}{(q^{- x}; q^{- 1})_{\infty}} (q - 1)^{1 - x} q^{(\binom{x}{2})}

si $| q | > 1$ . Aquest (·;·)_∞ és el símbol q-Pochhammer infinit. Satisfà l'equació funcional

Γ_{q} (x + 1) = \frac{1 - q^{x}}{1 - q} Γ_{q} (x) = [x]_{q} Γ_{q} (x)

Per a enters no negatius n,

Γ_{q} (n) = [n - 1]_{q}!

on [·]_q ! és la funció q-factorial. Alternativament, això pot ser pres com una extensió de la funció q-factorial per al sistema de nombres reals.

La relació amb la funció gamma ordinària es fa explícita en el límit

\lim_{q \to 1 \pm} Γ_{q} (x) = Γ (x) .

Fórmules tipus Raabe

A causa de I. Mező, existeix el q-anàleg de la fórmula Raabe, almenys si s'utilitza la funció de q-gamma quan $| q | > 1$ . Amb aquesta restricció

\int_{0}^{1} \log Γ_{q} (x) d x = \frac{ζ (2)}{\log q} + \log \sqrt{\frac{q - 1}{\sqrt[6]{q}}} + \log (q^{- 1}; q^{- 1})_{\infty} (q > 1) .

El Bachraoui considera el cas $0 < q < 1$ i ha demostrat que

\int_{0}^{1} \log Γ_{q} (x) d x = \frac{1}{2} \log (1 - q) - \frac{ζ (2)}{\log q} + \log (q; q)_{\infty} (0 < q < 1) .

Són coneguts els següents valors especials:

Γ_{e^{- π}} (\frac{1}{2}) = \frac{e^{- 7 π / 16} \sqrt{e^{π} - 1}}{2^{11 / 12} π^{3 / 4} \sqrt[3]{\sqrt{2} - 1} \sqrt[24]{4 + 3 \sqrt{2}}} Γ (\frac{1}{4}),

Γ_{e^{- 2 π}} (\frac{1}{2}) = \frac{e^{- 7 π / 8} \sqrt{e^{2 π} - 1}}{2 \sqrt[8]{2} π^{3 / 4}} Γ (\frac{1}{4}),

Γ_{e^{- 4 π}} (\frac{1}{2}) = \frac{e^{- 7 π / 4} \sqrt{e^{4 π} - 1}}{2^{7 / 4} π^{3 / 4}} Γ (\frac{1}{4}),

Γ_{e^{- 8 π}} (\frac{1}{2}) = \frac{e^{- 7 π / 2} \sqrt{(\sqrt{2} - 1) (e^{8 π} - 1)}}{4 \sqrt[4]{2} π^{3 / 4}} Γ (\frac{1}{4}) .

Aquests són els anàlegs de la fórmula clàssica $Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}$ .

D'altra banda, els següents anàlegs de la identitat familiaritzada $Γ (\frac{1}{4}) Γ (\frac{3}{4}) = \sqrt{2} π$ són certs:

Γ_{e^{- 2 π}} (\frac{1}{4}) Γ_{e^{- 2 π}} (\frac{3}{4}) = \frac{e^{- 29 π / 16} (e^{2 π} - 1) Γ {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 π^{3 / 2} \sqrt[3]{\sqrt{2} - 1} \sqrt[24]{8 + 6 \sqrt{2}}},

Γ_{e^{- 4 π}} (\frac{1}{4}) Γ_{e^{- 4 π}} (\frac{3}{4}) = \frac{e^{- 29 π / 8} (e^{4 π} - 1) Γ {(\frac{1}{4})}^{2}}{2^{23 / 8} π^{3 / 2}},

Γ_{e^{- 8 π}} (\frac{1}{4}) Γ_{e^{- 8 π}} (\frac{3}{4}) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1} e^{- 29 π / 4} (e^{8 π} - 1) Γ {(\frac{1}{4})}^{2}}{16 π^{3 / 2}} .

Un q-anàleg de la fórmula de Stirling per a $| q | < 1$ està donada per

Γ_{q} (x) = [2]_{q^{}}^{\frac{1}{2}} Γ_{q^{2}} (\frac{1}{2}) (1 - q)^{\frac{1}{2} - x} e^{\frac{θ q^{x}}{1 - q - q^{x}}}, 0 < θ < 1 .

Un q-anàleg de la fórmula de multiplicació per a $| q | < 1$ està donada per

Γ_{q^{n}} (\frac{x}{n}) Γ_{q^{n}} (\frac{x + 1}{n}) \dots Γ_{q^{n}} (\frac{x + n - 1}{n}) = [n]_{q}^{\frac{1}{2} - x} {([2]_{q} Γ_{q^{2}}^{2} (\frac{1}{2}))}^{\frac{n - 1}{2}} Γ_{q} (x) .