Constant d'Apéry

Plantilla:Infotaula nombre La constant d'Apéry es defineix com el valor de la funció zeta de Riemann per a un valor de la variable igual a 3, ζ(3):

ζ(3) = 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 ...

És a dir, la constant d'Apéry és el límit de la sèrie dels inversos dels cubs:

$\begin{array}{cc}\zeta (3)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots +\frac{1}{n^3})\end{array}$.

El nom "constant d'Apéry" prové del fet que el matemàtic francès Roger Apéry demostrà, el 1979, que ζ(3) és irracional (proposició coneguda com a Teorema d'Apéry).

Cal destacar que la constant d'Apéry apareix en alguns problemes físics. Per exemple, apareix de manera natural en els termes de segon i tercer ordre de la raó giromagnètica de l'electró (el quocient entre el seu moment dipolar magnètic i el seu moment angular).

Expressions equivalents

Es coneixen diverses expressions equivalents a la constant d'Apéry, algunes de les quals hi convergeixen més ràpidament que la provinent de la sèrie dels inversos dels cubs.

Com a sèrie

Leonhard Euler fou el primer en enunciar que

$\zeta (3)=\frac{{\pi }^2}{7}(1-4\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)})$.

L'any 1890 el matemàtic rus Andrei Màrkov enuncià que

$\zeta (3)=\frac{5}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{k{!}^2}{(2k)!k^3}$.

El matemàtic indi Srinivasa Ramanujan va enunciar que

$\zeta (3)=\frac{7}{180}{\pi }^3-2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}-1)}$.

I en 1998 el matemàtic quebequès Simon Plouffe va enunciar que

$\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3\sinh (\pi k)}-\frac{11}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}-1)}-\frac{7}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}+1)}$.

És també notòria l'expressió

$\begin{array}{cc}\zeta (3)& =\frac{5}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\\ & =\frac{5}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{k-1}{(k!)}^2}{(2k!)k^3}\end{array}$

L'any 2002 el matemàtic Géry Huvent demostrà que

$\zeta (3)=\frac{2}{3}{(\log 2)}^3+4\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{k-1}}{k^3{2}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}$

S'han trobat també expressions de la constant en forma de sèrie que permeten accelerar-ne l'aproximació. L'expressió següent tendeix a donar 1,43 nous decimals per terme

$\zeta (3)=\frac{1}{4}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{(k-1){!}^3(56k^2-32k+5)}{(2k-1{)}^2(3k)!}$.

Aquesta tendeix a donar 3,01 nous decimals per terme

$\zeta (3)=\frac{1}{64}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{k{!}^{10}(205k^2+250k+77)}{(2k+1){!}^5}$.

Aquesta altra tendeix a donar 3,92 nous decimals per terme

$\zeta (3)=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(2k){!}^3(k+1){!}^6(40885k^5+124346k^4+150160k^3+89888k^2+26629k+3116)}{(k+1{)}^2(3k+3){!}^4}$.

I aquesta tendeix a donar 5,04 nous decimals per terme

$\zeta (3)=\frac{1}{24}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(2k+1){!}^3(2k){!}^{3}k{!}^3(126392k^5+412708k^4+531578k^3+336367k^2+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3){!}^3}$.

Com a integral

La constant d'Apéry és fàcilment expressable a partir de la integral

$\zeta (3)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1-xyz}dxdydz$.

També pot expressar-se a partir d'integrals d'una sola variable, com per exemple amb la integral

$\zeta (3)=\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (2\arctan x)}{(x^2+1){(\cosh \frac{1}{2}\pi x)}^2}dx$

i amb les integrals

$\begin{array}{cc}\zeta (3)& =\frac{8{\pi }^2}{7}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x(x^4-4x^2+1)\log \log \frac{1}{x}}{(1+x^2{)}^4}dx\\ & =\frac{8{\pi }^2}{7}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x(x^4-4x^2+1)\log \log x}{(1+x^2{)}^4}dx\end{array}$.

Un altre parell d'expressions interessants, com a integral de dues variables, és

$\zeta (3)=-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\log (xy)}{1-xy}dxdy=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\log (1-xy)}{xy}dxdy$.

A partir de la funció gamma

La constant d'Apéry també té expressions interessants a partir de les funcions gamma i poligamma, com per exemple

$\zeta (3)=-\frac{1}{2}{\mathrm{\Gamma }}^{‴}(1)+\frac{3}{2}{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1){\mathrm{\Gamma }}^{″}(1)-({\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1){)}^3=-\frac{1}{2}{\psi }^{(2)}(1)$