Forma bilineal

Siguin $V$ i $W$ objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte $K$ amb estructura aritmètica. Típicament $V$ i $W$ són dos $K$-mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell $K$, o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos $K$. Una forma bilineal $\omega$ és una aplicació

$\omega :V\times W⟶K$

del producte cartesià dels objectes $V$ i $W$ a l'objecte $K$ que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:

$\omega (\lambda x+\mu y,z)=\lambda \omega (x,z)+\mu \omega (y,z),x,y\in V,z\in W,\lambda ,\mu \in K$

$\omega (x,z\lambda +t\mu )=\omega (x,z)\lambda +\omega (x,t)\mu ,x\in V,z,t\in W,\lambda ,\mu \in K$

Notació

Si $\omega$ és una forma bilineal i $x\in V$ i $y\in W$, hom sol usar la notació

$⟨x,y{⟩}_{\omega }$

per expressar el valor $\omega (x,y)$ de la forma $\omega$ en la parella $(x,y)$, és a dir, $⟨x,y{⟩}_{\omega }=\omega (x,y)$ i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma $\omega$ :

$⟨x,y⟩$

Formes bilineals degenerades i no degenerades

Els conjunts

$N_V=\{x\in V,\mathrm{\forall }y\in W,⟨x,y⟩=0\},N_W=\{y\in W,\mathrm{\forall }x\in V,⟨x,y⟩=0\}$

són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si $N_V=\{0\}$ i $N_W=\{0\}$ aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i ${\pi }_V:V⟶V/N_V$ i ${\pi }_W:W⟶W/N_W$ són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal

$\tilde{\omega }:V/N_V\times W/N_W⟶K$

$⟨{\pi }_V(x),{\pi }_W(y)⟩=⟨x,y⟩$

és no degenerada.

Formes bilineals simètriques i alternades

Si $V=W$ i $K$ és commutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix

$⟨x,y⟩=⟨y,x⟩$

i com a forma bilineal alternada la que compleix

$\mathrm{\forall }x\in V,⟨x,x⟩=0\in K$

Per a una forma bilineal alternada, si $x,y\in V$, tenim

$\begin{array}{cc}0& =⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x+y⟩+⟨y,x+y⟩=\\ & =⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩=\\ & =⟨x,y⟩+⟨y,x⟩\end{array}$

que implica

$⟨x,y⟩=-⟨y,x⟩$

En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que $⟨x,x⟩=0$, si no és que la característica de $K$ és diferent de 2: la condició $⟨x,x⟩=0$ és, doncs, més restrictiva que la condició $⟨x,y⟩=-⟨y,x⟩$.

Matriu d'una forma bilineal

Si $V$ i $W$ són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i ${ℬ}_V=\{v_1,\dots v_m\}$ i ${ℬ}_W=\{w_1,\dots w_n\}$ en són bases respectives, una forma bilineal $\omega :V\times V^{\ast }⟶K$ queda determinada pels $m\times n$ valors

$⟨v_i,w_j{⟩}_{\omega },i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n$

Si es disposen aquests $m\times n$ valors en una matriu de $n$ files i $m$ columnes,

$M=(⟨v_i,w_j{⟩}_{\omega }),i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n$

aleshores el càlcul de $⟨v,w{⟩}_{\omega }$ és

$⟨v,w⟩=w^{T}Mv$

on $w^T$ és el transposat de $w$, és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.

En canvi, si la matriu és de $m$ files i $n$ columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu $M$, el càlcul és

$⟨v,w⟩=v^T{M}^{T}w$

Exemples

L'àrea d'un paral·lelogram

Sigui $V_2$ l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui $ℬ$ una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base $ℬ$ com a unitat de mesura és una forma bilineal $V_2\times V_2⟶ℝ$. Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de $V_2$.

El producte escalar euclidià

El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}$ en la forma $⟨\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}⟩$, pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la commutativitat de $ℝ$,

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z,x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

$(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y)=\lambda (x\cdot y)$

$x\cdot y=y\cdot z$

obtenim

$⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩,⟨x,(y+z)⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$

$⟨\lambda x,y⟩=⟨x,\lambda y⟩=\lambda ⟨x,y⟩$

$⟨x,y⟩=⟨y,z⟩$

i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.

Còniques i quàdriques

Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i{P}_{ij}{x}_i{x}_j+\sum _{k=1}^n{Q}_k{x}_k+R=0$

L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu

$\left(\begin{array}{cccc}{P}_{11}& P_{12}/2& \dots & P_{1n}/2\\ P_{21}/2& P_{22}& \dots & P_{2n}/2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ P_{n1}/2& P_{n2}/2& \dots & P_{nn}\end{array}\right)$

obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.

Mòduls o espais duals

Si $V$ és un $>K$-mòdul i $V^{\ast }$ és el seu mòdul dual, l'aplicació

$\omega :V\times V^{\ast }⟶K$

$⟨x,\phi {⟩}_{\omega }=⟨x,\phi ⟩$

que a la parella $(x,\phi )$ li fa correspondre el valor $⟨x,\phi ⟩$ de la forma $\phi$ en l'element $x\in V$ és òbviament una forma bilineal.

Vegeu també

• Estructures lineals duals.
• El producte escalar en un espai euclidià.