σ-àlgebra de Borel

La σ-àlgebra de Borel associada a un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres sobre T que conté tots els conjunts oberts de T (o, equivalentment, tots els conjunts tancats de T); en altres paraules, és la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts (o tancats) de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen conjunts de Borel o conjunts borelians o simplement borelians. L'existència i unicitat d'aquesta σ-àlgebra es demostra construint-la com la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, ja que el resultat d'una intersecció d'un nombre arbitrari de σ-àlgebres és també una σ-àlgebra.

Propietats

Designarem per $ℬ(T)$ la $\sigma$-àlgebra de Borel sobre espai topològic $T$

σ-àlgebra de Borel sobre un subconjunt

Recordem que si $ℰ$ és una $\sigma$-àlgebra sobre un conjunt $E$ i $C\subset E$ és un subconjunt arbitrari, aleshores la família de conjunts $$ℰ{|}_C=\{C\cap A:A\in ℰ\}$$és una $\sigma$-àlgebra sobre $C$ que s'anomena la $\sigma$-àlgebra traça sobre $C$.

Sigui $T$ un espai topològic i considerem un subconjunt $C\subset T$ amb la topologia traça o topologia induïda) i la corresponent $\sigma$-àlgebra de Borel sobre $C$, $ℬ(C)$ . Aleshores $$ℬ(C)=ℬ(T){|}_C.$$

σ-àlgebra de Borel sobre un producte de conjunts

Siguin $(E_1,{ℰ}_1)$ i $(E_2,{ℰ}_2)$ dos espais mesurables. Recordem que la $\sigma$-àlgebra producte ${ℰ}_1\otimes {ℰ}_2$ sobre $E_1\times E_2$ és la $\sigma$-àlgebra generada pels conjunts de la forma $A_1\times A_2$, amb $A_1\in {ℰ}_1$ i $A_2\in {ℰ}_2$.

Siguin $T_1$ i $T_2$ dos espais topològics i considerem $T_1\times T_2$ amb la topologia producte. Aleshores $$ℬ(T_1)\otimes ℬ(T_2)\subset ℬ(T_1\times T_2).$$A més, si $T_1$ i $T_2$ són espais mètrics separables, llavors val la igualtat:$$ℬ(T_1)\otimes ℬ(T_2)=ℬ(T_1\times T_2).$$

σ-àlgebra de Borel sobre el conjunt del nombres reals

Un exemple particularment important és la σ-àlgebra de Borel sobre el conjunt dels nombres reals $ℝ$, que designarem per $ℬ(ℝ)$ . Donat que tot conjunt obert de $ℝ$ és la reunió d'un nombre finit o infinit numerable d'intervals oberts disjunts, $ℬ(ℝ)$ és la mínima σ-àlgebra sobre $ℝ$ que conté tots els intervals oberts de $ℝ$. Tenim les següents caracteritzacions (entre altres): És la mínima σ-àlgebra a $ℝ$ que conté:

• Tots els intervals oberts.
• Tots els intervals tancats.
• Tots els intervals de la forma $[a,b)$ amb $a<b$.
• totes les semirectes de la forma $(-\mathrm{\infty },a]$.
• totes les semirectes de la forma $[a,\mathrm{\infty })$.

Això és degut al fet que qualsevol classe d'intervals es pot obtenir a partir de les altres mitjançant operacions numerables. Per exemple, $(a,b)=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a+\frac{1}{n},b)$. Encara més, utilitzant la densitat dels nombres racionals es pot veure que en les col·leccions d'intervals anteriors n'hi ha prou amb considerar els intervals amb extrems racionals: per exemple, $ℬ(ℝ)$ és la σ-àlgebra generada per la família $\{(-\mathrm{\infty },a],a\in \mathbb{Q}\}$. Es diu que és una σ-àlgebra separable o numerablement generada

Una propietat important és que $ℬ(ℝ)$ té el mateix cardinal que $ℝ$ $$\text{Card}(ℬ(ℝ))=\text{Card}(ℝ)=𝔠.$$

σ-àlgebra de Borel sobre ℝⁿ

De manera anàloga és defineix la σ-àlgebra de Borel sobre ${ℝ}^n$, que es designa per $ℬ({ℝ}^n)$: és la menor σ-àlgebra que conté tots els oberts de ${ℝ}^n$ (o tots els tancats), i també admet diverses famílies de generadors, per exemple, els productes d'intervals oberts $(a_1,b_1)\times \cdots \times (a_n,b_n)$ o semioberts $[a_1,b_1)\times \cdots \times [a_n,b_n)$, etc., que a més poden agafar-se amb d'extrems racionals.

Tenim que $$ℬ({ℝ}^n)=ℬ(ℝ)\otimes \cdots \otimes ℬ(ℝ).$$

Vegeu també

• Sigma-àlgebra
• Mesura (matemàtiques)
• Espai de probabilitat
• Conjunt obert