Nombre algebraic

En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters). Plantilla:Equació on:

$n>0(a_n\ne 0)$, és el grau del polinomi.

$a_i\in \mathbb{Z}$, els coeficients del polinomi són nombres enters.

El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos $ℂ$ dels nombres complexos.

Classificació dels complexos

• Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent.
• Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).

Definició formal

Considerem $a\in ℂ$ un nombre algebraic diferent de 0. El grau ($d$) de $a$ correspon al grau més baix del polinomi amb coeficients racionals tal que $f(a)=0$. Seguint aquesta descripció, només hi ha un polinomi mònic de grau $d$ que té $a$ com a arrel. Aquest rep el nom de polinomi definitori.

Exemples

• Tot nombre racional $p/q$ és algebraic, perquè és arrel del polinomi $qx-p$.
• El nombre real $\sqrt{2}$ és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^2-2$. Més generalment, si $a$ és un nombre racional, llavors $\sqrt[n]{a}$ és un nombre algebraic de grau $n$ amd polinomi $x^n-a$.
• El nombre imaginari $i$ és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^2+1$.
• El nombre d'or és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^2-x-1$.
• En canvi se sap que el nombre π i la constant d'Euler no són algebraics: el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que els tingui per arrel.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre