Desigualtat de Minkowski

En anàlisi matemàtica, la desigualtat de Minkowski estableix que els espais L^p són espais vectorials amb una norma. Sia S un espai mesurable, sia 1 ≤ p ≤ ∞ i siguin f i g elements de L^p(S). Llavors f + g és de L^p(S), i es té

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

amb la igualtat pel cas 1 < p < ∞ si i només si f i g són positivament linealment dependents (la qual cosa vol dir que f = $\lambda$ g o g = $\lambda$ f per alguna $\lambda$ ≥ 0).

La desigualtat de Minkowski és la desigualtat triangular en L^p(S).

Igual com la desigualtat de Hölder, la desigualtat de Minkowski es pot especificar per a successions i vectors a base de fer:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

per a tots els nombres reals (o complexos) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n i on n és el cardinal de S (el nombre d'elements de S).

Demostració

Primer es demostra que f+g té una p-norma finita so f i g totes dues la tenen, això se segueix de

$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p)$

En efecte, aquí es fa servir el fet que $h(x)=x^p$ és una funció convexa sobre ${ℝ}^{+}$ (per a $p$ més gran que 1) i per tant, si a i b són tots dos positius llavors

${(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)}^p\le \frac{1}{2}{a}^p+\frac{1}{2}{b}^p$

Això vol dir que

$(a+b{)}^p\le 2^{p-1}{a}^p+2^{p-1}{b}^p$

Ara, es pot parlar legítimament de $(\Vert f+g{\Vert }_p)$. Si és zero, Llavors es compleix la desigualtat de Minkowski. Ara, suposant que $(\Vert f+g{\Vert }_p)$ no és zero. Fent servir la desigualtat de Hölder

$\Vert f+g{\Vert }_p^p=\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu$

$\le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$=\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le }({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}$

$=(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}$

S'obté la desigualtat de Minkowski multiplicant els cos cantons per $\frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f+g{\Vert }_p^p}$.

Referències

• Plantilla:Ref-llibre
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, Plantilla:ISBN