Espai separable

En topologia, un espai topològic és un espai separable si inclou un subconjunt dens numerable.

Un espai de Hilbert és separable si i només si admet una base ortonormal numerable.

Espais de Hilbert separables

Sigui (H, <, >) un espai de Hilbert separable. Si {i_k}_k∈B és una base ortonormal numerable de V, llavors cada element x de V es pot escriure com

$x=\sum _{k\in B}⟨e_k,x⟩e_k$

Aquesta suma també s'anomena lPlantilla:'expansió de Fourier de x.

Exemples d'espais de Hilbert són ${𝕂}^n$ amb $𝕂=ℝ$ o $𝕂=ℂ,$ l'espai de les successions complexes quadrat-sumables ${\ell }^2(𝕂)$ i l'espai de les funcions quadrat-integrables en el sentit de Lebesgue $L^2({ℝ}^n).$ Una gran varietat d'espais de Hilbert que es presenten en la pràctica són separables i són en particular els espais ${𝕂}^n$ i ${\ell }^2(𝕂)$ els prototips principals d'espais de Hilbert, ja que tot espai de Hilbert separable de dimensió finita $n$ és isomorf a ${𝕂}^n$ mentre que tot espai de Hilbert separable de dimensió infinita és isomorf a ${\ell }^2(𝕂)$.

Exemples

Espais separables

• El conjunt dels nombres reals R amb la topologia usual és separable per ser el conjunt dels nombres racionals Q un subconjunt dens numerable. En general, l'espai euclidià R ⁿ és separable per ser Q ⁿ dens i numerable, ja que és el producte de conjunts numerables.
• Igualment el conjunt dels nombres complexos C és separable sent en general, l'espai euclidià C ⁿ també separable.

• Tot espai topològic numerable és separable.
• El conjunt de les funcions contínues en l'interval [0,1] també és separable.

Espais de Hilbert no separables

• El conjunt de totes les funcions reals $f:ℝ⟶ℝ$, que només són diferents de zero en un conjunt finit o comptable de punts S _f tals que:

Plantilla:Equació Constitueix un espai de Hilbert no separable, dotat del producte escalar entre dues funcions f i g : Plantilla:Equació Necessàriament aquestes funcions d'aquest espai de Hibert no són contínues, ja que els espais normats de funcions reals contínues definides en ${ℝ}^n$ són sempre separables.