Teorema de Heine-Borel

En matemàtiques, el teorema de Heine-Borel també anomenat teorema de Borel-Lebesgue estableix que un subconjunt de ${ℝ}^n$ és tancat i acotat si i només si és compacte, és a dir si tot recobriment admet un subrecobriment finit. El cas particular del teorema aplicat a la recta real s'anomena sempre Teorema de Heine-Borel, mentre que fora d'aquest cas rep de vegades, el nom de Teorema de Borel-Lebesgue.

Les formulacions principals d'aquest teorema es deuen als matemàtics Eduard Heine, Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Bernard Bolzano i Karl Weierstrass.

Història i motivació

La història del que avui s'anomena teorema de Heine-Borel comença al Plantilla:Segle, amb la cerca de teories sòlides per l'anàlisi real. En la teoria descrita era central el concepte de continuïtat uniforme i més concretament el teorema que indica que cada funció contínua en un interval tancat és uniformement contínua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet va ser el primer en demostrar-la i implícitament en la demostració va utilitzar l'existència d'un subconjunt finit d'un conjunt obert donat d'un interval tancat. Més tard, altres matemàtics com Eduard Heine, Karl Weierstrass i Salvatore Pincherle van utilitzar tècniques similars. Al 1895, Émile Borel va ser el primer en declarar i demostrar una forma primerenca del teorema, amb una formulació restringida a conjunts contables. Pierre Cousin, Lebesgue i Arthur Schoenflies el van generalitzar a conjunts arbitraris.

Teoremes Preliminars

Sigui F un conjunt tancat i K un conjunt compacte tals que $F\subset K\subset {ℝ}^n$. Notem per $F^c$ el complement de F respecte a K.

Sigui $\{G_a\}$ un recobriment per oberts de F, llavors $\{G_a\}\cup \{F^c\}$ és un recobriment per oberts de K (podem afegir $F^c$ ja que és obert). Com que K és compacte llavors $\{G_a,F^c\}$ té un refinament finit que també recobreix F. Podem treure $F^c$ i segueix recobrint F. Així obtenim un refinament finit de qualsevol recobriment per oberts de F

Si E no tingués punts d'acumulació en K llavors $\mathrm{\forall }a\in K,\mathrm{\exists }{B}_{\epsilon }(a)=a$ on $B_{\epsilon }$ és un entorn de radi ε > 0. És clar que el conjunt d'aquests entorns forma un recobriment de E però no té un refinament finit, el mateix compliria per K que contradiria la hipòtesi que K és compacte.

Sigui $I$ una k-cel·la que consisteix en tots els punts x = (x₁, x₂, ..., x_k) tal que $a\le x_j\le b$ i $j\in \{1,2,...,k\}$. Sigui $\delta =(\sum (b_j-a_j{)}^2{)}^{1/2}$ llavors si $x,y\in I$, $|xy|<\delta$. Sigui $\{G_a\}$ un recobriment arbitrari de I i suposem que I no es pot recobrir amb una família finita dels $G_a$.

Prenem $c_s=\frac{a_s+b_s}{2}$ llavors els intervals $[a_s,c_s];[c_s,b_s]$ determinen 2_k cel·les Q_i amb $i\in \{1,2,...,2^k\}$. Llavors com a mínim un Q_i no es pot recobrir amb una quantitat finita de $G_a$. L'anomenarem I₁ i així obtenim una successió I_n tal que:

1. $I_1\supset I_2\supset I_3\supset ...$.
2. $I_n$ no es pot recobrir amb una quantitat finita dels $G_a$.
3. Si $x,y\in I_n$ llavors $|xy|<2^{-n}\delta$.
4. $\bigcap _n{I}_n\ne \mathrm{\varnothing }$

Diguem que $h\in \bigcap _n{I}_n$; com $\bigcup _a{G}_a$ recobreix I llavors $h\in G_b\subset \bigcup _a{G}_a$. Com que G_b és obert existeix un $B_{\epsilon }(h)\subset G_b$. Si prenem n prou gran tal que $2^{-n}\delta <\epsilon$ tenim que aquest $I_n\subset B_{\epsilon }(h)\subset G_b$ el que contradiu la suposició que no es pot recobrir amb una quantitat finita dels $G_a$.

Demostració del teorema de Heine-Borel

Enunciat: Si un conjunt $E\subset {ℂ}^n$ té algunes de les propietats, aleshores també té les altres dues (és a dir, són totes equivalents):

1. E és tancat i connex.
2. E és acotat.
3. Tot subconjunt infinit de E té un punt d'acumulació a la frontera de E.

Demostració: Si compleix 1) llavors $E\subset I$ per a alguna k-cel·la $I$, i 1) implicaria 2) pels teoremes 1 i 3 anteriors.

Si es compleix 2), llavors es compleix 3) pel teorema 2 anterior.

Ara falta demostrar que si compleix 3), aleshores compleix 1): Si E no és connex aleshores conté un conjunt $x_n$ tal que $|x_n|>n$, llavors el subconjunt $x_n$ és finit i té un límit en ${ℝ}^n$, la qual cosa contradiu 3). Si E no és obert llavors hi ha un element $x_0\in {ℝ}^n$ que és un punt d'acumulació de E però no és a E. Per a $n=1,2,...$ hi ha $x_n\in E$ tals que $|x_n-x_0|<1/n$, llavors el conjunt $x_n$ és infinit i té límit contingut en ell mateix, la qual cosa contradiu 3). (Q.E.D.)

Vegeu també

• Conjunt de Borel

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre