Espai vectorial normat

A matemàtica un espai vectorial es diu que és normat si s'hi pot definir una norma vectorial. Podem assenyalar els següents fets que ajuden a comprendre la importància del concepte d'espai normat:

• En un espai euclidià, la norma coincideix precisament amb la longitud del vector.
• Tot espai vectorial normat és un espai mètric amb la distància induïda per la norma.
• Si l'espai vectorial és a més complet es diu que és un espai de Banach.

Definició

Un espai vectorial V sobre un cos $𝕂$ en el qual es defineix un valor absolut (generalment $ℝ$ o $ℂ$) es diu que és normat si en ell es pot definir una norma, és a dir, una aplicació $||.||:V\to ℝ$, que verifica:

1. No negativitat. Per a tot $\overrightarrow{x}$ de $𝐕$ la seva norma ha de ser positiva, i serà zero si i només si $\overrightarrow{x}$ és el vector zero: $0<||\overrightarrow{x}||$ si $\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$ i $||\overrightarrow{x}||=0⟺\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$.
2. Homogeneïtat. Per a tot $\overrightarrow{x}$ de $𝐕$ i per a tot k de $𝕂$ se satisfà que $||k\overrightarrow{x}||=|k|$ · $||\overrightarrow{x}||$ on $|.|$ és el mòdul o valor absolut.
3. Desigualtat triangular. Per a tots $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ de $𝐕$ es compleix que $||\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}||\le ||\overrightarrow{x}||+||\overrightarrow{y}||$.

Generalment es denotarà a $(V,||.||)$ l'espai vectorial normat i quan la norma sigui clara simplement per $V$.

Exemples

De dimensió finita

• $ℝ$
• L'espai euclidià ${ℝ}^n$.
• Les matrius quadrades d'ordre n sobre $ℝ$: $M_n\left(ℝ\right)$

Distància induïda

En tot espai vectorial normat V es pot definir la distància $d:V\times V\to ℝ$:

$d(x,y):=||x-y||$

amb la qual (V, d) és un espai mètric.

La distància és invariant per translació : si x, y, z són elements de V :

$d(x+z,y+z)=d(x,y)$

Espais vectorials normats de dimensió finita

Es compleixen els següents resultats (que generalment no són certes per a espais de dimensió infinita):

• Totes les normes definides en l'espai són equivalents, és a dir, defineixen la mateixa topologia. La convergència o divergència d'una successió no depèn de la norma escollida. El resultat no és cert per a espais de dimensió infinita sent sempre hi ha dues normes que no són equivalents.
• L'espai és complet, és a dir, és un espai de Banach. Com a conseqüència, tot subespai de dimensió finita d'un espai vectorial normat (no necessàriament de dimensió finita) és tancat.
• Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunt de l'espai vectorial és compacte si i només si és tancat i acotat.
• Tot funcional lineal és continu (si l'espai vectorial normat té dimensió infinita, hi ha funcionals lineals no continus).
• Un espai vectorial normat és de dimensió finita si i només si la bola unitat és compacta.